专题08 直线的方程（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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二.学法指导
1．求直线的点斜式方程的步骤
2.求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．
(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
3．已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4.当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
5．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零
6.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
7.两个重要结论
结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示．
结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线．
8．根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0,A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0))
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
三.知识点贯通
知识点1 直线的点斜式方程
例题1. (1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
【解析】(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.
知识点二 直线的斜截式方程
例题2：根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】（1）因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，由斜截式可得直线方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
知识点三 斜截式在两直线平行与垂直中的应用
直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
符号：可正，可负，也可为零．
例题3 .当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解析】由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
知识点四 直线的两点式方程
例题4．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【解析】由直线方程的两点式得eq \f(y－－1,4－－1)＝eq \f(x－2,－3－2)，即eq \f(y＋1,5)＝eq \f(x－2,－5).
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
知识点五 直线的截距式方程
例5.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
【解析】 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴eq \f(4,a)＋eq \f(－3,b)＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
知识点六 直线的一般式方程与其他形式的互化
直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
例6.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
【解析】由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝eq \f(2,3)x＋2.
截距式方程为：eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1.
由此可知，直线的斜率为eq \f(2,3)，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2.
知识点七 直线的平行与垂直
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
例7.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．
【解析】 法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，要使l1∥l2，需eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2).
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－eq \f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq \f(a＋2,1－a)，k2＝－eq \f(a－1,2a＋3).
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋2,1－a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
五 易错点分析
易错一 由两条直线平行求系数的值
例题8.当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
【解析】由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
误区警示
两条直线平行，要考虑两直线的斜率和在y轴上的截距。
易错二 两点式、点斜式都不能表示所有直线
例9.求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程．
【解析】当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3，
当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2.
当m≠3且n≠2时，由两点式得
直线方程为eq \f(y－m,3－m)＝eq \f(x－2,n－2).
误区警示
两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。
内 容
考点
关注点
直线的方程
直线的点斜式方程
斜率是否存在
直线的斜截式方程
斜率是否存在
直线的两点式方程
不能表示垂直坐标轴的直线
直线的截距式方程
截距的定义
中点坐标公式
公式运用
直线的一般式方程
方程互化
一般式
斜截式
截距式
Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0)
y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)(B≠0)
eq \f(x,－\f(C,A))＋eq \f(y,－\f(C,B))＝1(A、B、C≠0)
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
名称
两点式方程
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
适用范围
斜率存在且不为零
名称
截距式方程
已知条件
在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.
示意图
直线方程
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
适用范围
斜率存在且不为零，不过原点