大题专项训练7：数列（并项、分组求和）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练7—数列（并项、分组求和）1．已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由可得，（2分）即，则，解得（4分）所以．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：（7分）所以（9分）（12分）2．已知为数列的前项和，且是非零常数）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，当时，求数列的前项和．解：（Ⅰ）当时，．①，②①②可得，当时，，当时，，故数列的通项公式为．（Ⅱ）由时，知，故，记数列的前项和为，．故数列的前项和为．3．已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和．解：（1）由．可得，当时，，上式对也成立，则，；（2），则的前项和．4．已知数列满足，数列是各项均为正数的等比数列，且，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）根据题意，，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．因为，因为为正项数列，所以．所以．（Ⅱ）根据题意，所以，设．设．所以．5．设数列的前项和为，已知．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项的和．解：（1）当时，当时，所以．（2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0当时，，，当时，，，．．所以．6．已知数列是各项均为正数的等比数列，，，数列满足，且与的等差中项是．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，的前项和为，求．解：（Ⅰ）设数列是各项均为正数的公比为的等比数列，由，，可得，，解得，，则，由与的等差中项是，可得，即，则，，，，累加可得，由，可得，（Ⅱ），则．7．已知等差数列的前项和为，且，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，令，求数列的前项和．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由可得解得因此，；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，知，数列的前项和为，，则令，，两式相减得，，即：，所以，综合知．