考点42 数列求和（分组并项求和法）练习题

考点42数列求和（分组并项求和法）

一、单选题

1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 016等于（    ）

A．1 008 B．－1 008 C．2 016 D．－2 016

2．已知在前n项和为的数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若数列的通项公式是，则（    ）

A． B． C． D．

4．若数列的通项公式是，则（    ）

A．45 B．65 C．69 D．

5．等于（    ）

A． B．－ C． D．

6．已知等差数列满足：，，则数列的前40项和为

A． B． C． D．

7．数列的前n项和为，则（    ）

A．1010 B．－1010 C．2020 D．－2020

8．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（    ）

A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99

9．已知数列{an}的通项公式是，则其前20项和为（    ）

A． B．

C． D．

10．若数列的通项公式是，则等于（    ）

A．60 B． C．90 D．

11．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（    ）

A．978 B．557 C．467 D．979

12．已知数列的通项公式为()，其前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.

14．已知数列an＝则S100＝________．

15．已知数列满足：，则的前100项和为________________.

16．数列的前n项和为，若，则________.

参考答案

1．A

【分析】

根据并项求和法即可求解．

【详解】

S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008．

故选：A

2．C

【分析】

利用并项求和法即可求解.

【详解】

由，有，

则．

故选：C

3．A

【分析】

根据通项公式的特征，分组求和进行求解即可.

【详解】

因为，

所以，

，

，

，

，

因此.

故选：A

4．B

【分析】

由题意可得，从而可得，进而可得答案

【详解】

因为，

所以，

则 ，

故选：B．

【点睛】

此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题

5．C

【分析】

对分奇数和偶数讨论，并采用并项求和的方法，简单计算，可得结果.

【详解】

当n为偶数时，

当n为奇数时，

所以

综上可得：

故选：C

【点睛】

本题主要考查并项求和的方法，考验观察能力以及分析能力，属基础题.

6．A

【分析】

先设等差数列的公差为，求出，进而可求出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，则，得，则的前40项和为.故选A．

【点睛】

本题主要考查等差数列、以及并项求和问题，熟记等差数列的通项公式以及前项和即可，属于常考题型.

7．A

【分析】

根据题意，结合并项求和，即可求解.

【详解】

由题意，数列，即，

则

.

故选：A.

8．A

【分析】

由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，结合分组求和法即可求解．

【详解】

由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为

S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101．

故选：A

9．C

【分析】

利用等差数列、等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】

S20=a1+a2+…+a20=2×（1+2+…+20）-

=2×.

故选：C

10．C

【分析】

根据题意得到，结合并项求和，即可求解.

【详解】

由题意，数列的通项公式是，

则，

所以．

故选：C.

11．A

【分析】

设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由cn=an+bn列出方程组，求出数列的通项公式，利用分组求和法可得数列{cn}的前10项和．

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.

∵cn=an+bn，

解得，∴cn=2n-1+(1-n).

∴{cn}的前10项和为．

故选：A

12．A

【分析】

根据数列的通项公式，设，结合，即可求解.

【详解】

由题意，数列的通项公式为()，

设，且

，

则.

故选：A.

13．2n＋－2

【分析】

先化简数列，结合分组求和法即可求解．

【详解】

被求和式的第k项为：

所以Sn＝2＝2

故答案为：2n＋－2．

14．5000

【分析】

利用分组求和法即可求解.

【详解】

由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100

＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)

＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．

故答案为：5000

15．1

【分析】

根据数列的通项公式求出数列的前几项，即可得到数列是以3为周期的周期数列，从而得解；

【详解】

解：因为，所以，，，，，，……可知数列是以3为周期的周期数列，且，

所以

故答案为：1.

16．3030

【分析】

根据题意，先确定的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果.

【详解】

由，

知的周期为，

又，，

 ，，

则，

所以.

故答案为：.