大题专项训练9：数列（裂项相消）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专项训练9：数列（裂项相消）-2022届高三数学二轮复习，共12页。试卷主要包含了设等差数列的前项和为，且，，等差数列中，，，其前项和为，在数列，中，，，且，等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练9—数列（裂项相消）1．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，，，，成等比数列，，即，化简整理，得，解得（舍去），或，，，（2）由（1），可得，．2．设为等差数列的前项和，是各项均为正数的等比数列，且是，的等差中项，若，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．因为是，的等差中项，所以，化简得，，，因为各项均为正数，所以，因为，所以，，所以，因为，，解得，所以．（Ⅱ）因为的前项和为，所以，所以，，所以．3．设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，，，求证：的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，，，，，解得，．．（2）证明：．，，，则：的前项和，根据，，，．．．4．在①点在函数的图象上；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．在数列中，为其前项和，，______，其中．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）选择①：由题意知，，当时，．因为，所以时也满足上式，所以．选择②：由，得，所以，因为，所以，所以，又，所以成以2为首项，2为公比的等比数列，所以．选择③：，当时，，与相减得，所以因为，所以成以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）知，所以，所以．5．已知各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为．因为，，成等比数列，所以，即，整理可得或，而，且，所以，解得，所以，即数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以． 6．在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题．已知公差不为0的等差数列，且 _____．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）选①②时，在①，②，已知公差不为0的等差数列，所以，解得，，所以．选①③时，在①，③，已知公差不为0的等差数列，所以，解得，，所以．选②③时，②，③，已知公差不为0的等差数列，所以，解得，，所以．（2）由于，所以，则．7．在公差不为0的等差数列中，，且为与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）在公差不为0的等差数列中，，且为与的等比中项．可得，且，即，解得，，则，；（Ⅱ），．8．等差数列中，，，其前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．（Ⅲ）若数列满足，且前项和为，求证：．解：设等差数列的公差为，，，，解得，．．．的前项和．．．，．． 9．已知等比数列前项和为，，，数列的各项为正，且满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求证：．解：（1）设公比为的等比数列前项和为，，，所以，整理得，由于，所以，故．由于，整理得，解得．数列的各项为正，且满足，所以（常数），所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列．所以，所以．证明：（2）由（1）得：，所以，由于数列单调递增，由于，所以：．10．在数列，中，，，且，．（1）求，的值；（2）求的通项公式；（3）设，记的前项和为，证明：．解：（1）数列，中，，且，，当时，，所以．根据，解得．所以，．（2）由于，故①②得：，故（常数），所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；所以．（3）证明：，所以．由的每一项都为正数，所以，故．38．已知数列前项和为，且，，数列为等差数列，，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．【解答】解：（Ⅰ），，可得，即有，时，，又，两式相减可得，即有，可得时，，则；设等差数列的公差为，由，，即为，即，解得，则；（Ⅱ）时，，所以前项和．