数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后测评

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课时素养检测

二十二　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为a,则它的表面积为 (　　)

A.3a2+6ah　　　　　   B.a2+6h

C.4a2+6ah       D.a2+6ah

【解析】选A.柱体的表面积是侧面积加底面积,据正六棱柱的性质,得其表面积为S侧+2S底=3a2+6ah.

2.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1-ABC的体积为              (　　)

A.　　　   B.　　　    C.　　　　 D.

【解析】选D.V=Sh=××3=. 

3.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是              (　　)

A.2    B.4   C.6    D.8

【解析】选D.由已知得底面边长为1,侧棱长为=2.所以S侧=1×2×4=8.

4.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积

是 (　　)

A.     B.     C.     D.

【解析】选C.因为VC-A′B′C′=V柱=,

所以VC-AA′B′B=1-=.

5.棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是              (　　)

A.4∶9   B.10∶19   C.7∶19   D.5∶9

【解析】选C.设棱台高为2h,上底面面积为S,则下底面面积为9S,中截面面积为4S,

==.

6.(多选题)下列说法正确的有 (　　)

A.多面体的表面积等于各个面的面积之和

B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的

C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等

D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和

【解析】选AD.A正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.(2019·江苏高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是________. 

【解题指南】考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.

【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为S△BDC×c=×ab×c=abc=10.

答案:10

8.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是,,,则这个长方体的体积为________,表面积为________. 

【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则

三式相乘可知(abc)2=6,

所以长方体的体积V=abc=,

表面积为S=2+2+2.

答案:　2+2+2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.

【解析】如图,高PO=3,PE是斜高,

因为S侧=2S底,所以4··BC·PE=2BC2,

所以BC=PE.

在Rt△POE中,PO=3,OE=BC=PE,

所以9+=PE2,

所以PE=2.

所以S底=BC2=PE2=(2)2=12,S侧=2S底=2×12=24,所以S表=S底+S侧=12+24=36.

10.正四棱台两底面边长分别为3和9.

(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,求棱台的侧面积;

(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.

【解析】(1)如图,设O1,O分别为上,下底面的中心,

过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC于F,

连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高.

由题意知∠C1CO=45°,

CE=CO-EO=CO-C1O1=×(9-3)=3.

在Rt△C1CE中,C1E=CE=3,

又EF=CE·sin 45°=3×=3,

所以斜高C1F=

==3.

所以S侧=(4×3+4×9)×3=72.

(2)由题意知S上底+S下底=32+92=90,

所以(4×3+4×9)·h斜=32+92=90.

所以h斜==.

又EF==3,h==.　　　　　　　

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.棱长为2的正四面体的表面积是 (　　)

A.    B.4    C.4    D.16

【解析】选C.每个面的面积为×2×2×=,所以正四面体的表面积为4.

2.侧面是正三角形的正三棱锥,体积是,则其表面积为 (　　)

A.2    B.6    C.4    D.12

【解析】选C.设正三棱锥的棱长为a,

则其高h==a,

所以V=×a2×a=a3.

由a3=,解得a=2.

所以S表=4×a2=a2=4.

3.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为______ cm2.              (　　) 

A.36    B.72    C.18    D.108

【解析】选B.该棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).

4.四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形,各侧棱长都相等,高为z,且侧面积等于两底面积之和,则下列关系式中正确的是              (　　)

A.=+        B.=+

C.=+        D.=

【解析】选C.由条件知,各侧面是全等的等腰梯形,设其高为h′,则根据条件得,消去h′得,4z2(x+y)2+(y-x)2(y+x)2=(x2+y2)2.所以4z2(x+y)2=4x2y2,所以z(x+y)=xy,所以=+.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.侧面是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,该三棱锥的表面积为_______. 

【解析】底面边长为a,则斜高为,

故S侧=3×a×a=a2.

而S底=a2,故S表=a2.

答案:a2

6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为__________. 

【解析】因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,

所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB×3

=S△ABC×3=S△ABC,

设图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=S△ABC,

所以h=.

答案:

7.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6 cm时,则该容器的容积为________cm3. 

【解析】如图所示,由题意可知,这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形,侧面的斜高PM=5 cm,高PO===4(cm),所以所求容积为V=×62×4=48(cm3).

答案:48

8.如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,则四棱台的表面积等于________,体积等于________. 

【解析】因为正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,所以上底面、下底面的面积分别是4,16.

因为侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,

所以侧面的高为=,

一个等腰梯形的面积为×(2+4)×=3,

所以四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.

四棱台的高h==,所以四棱台的体积V=×(4++16)×=.

答案:20+12　

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,求V1∶V2.

【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.

因为E,F分别为AB,AC的中点,所以S△AEF=S,

V1=h=Sh,

V2=Sh-V1=Sh,

所以V1∶V2=7∶5.

10.若E,F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为V,求四棱锥A-BEFC的体积.

【解析】如图所示,连接AB1,AC1.

设AA1=h,因为B1E=CF,所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,

所以VA-BEFC==.

又=·h,=·h=V,所以=,

所以=-=.

所以VA-BEFC=×V=,

即四棱锥A-BEFC的体积是.

11.已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.

【解析】如图,在三棱台ABC-A′B′C′中,取上、下底面的中心分别为O′,

O,BC,B′C′的中点分别为D,D′,则DD′是梯形BCC′B′的高.

所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.

又因为A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为S上+S下=×(202+302)=325(cm2).

由S侧=S上+S下,得75DD′=325,

所以DD′=(cm),O′D′=×20=(cm),

OD=×30=5(cm),

所以棱台的高h=O′O=

==4(cm).

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为

V=(S上+S下+)

=×

=1 900(cm3).

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