5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

的图象与性质要点一：用五点法作函数的图象用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点二：函数中有关概念表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相. 要点三：由得图象通过变换得到的图象先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象.先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象.  【典型例题】类型一：三角函数的图象的平移、伸缩变换例1.如何由y=sin x的图象变化到的图象？【解析】 解法一： 。解法二：。 例2.已知函数其中，（I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．【解析】（I）由，得，得    又．（Ⅱ）由（I）得，     依题意，，又故     函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为：      是偶函数当且仅当      即      从而，最小正实数【变式1】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到的图像是（     ）【答案】A  【变式2】已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（     ）A． 向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度       D．向右平移个单位长度【答案】A 【解析】由题知又，所以所以==显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象． 类型二：三角函数的解析式例3.由图中条件，写出该函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）解析式.【解析】 A=5，将最高点坐标(，5)代入得∴，∴取.举一反三：【变式1】函数的图象如下图，确定其一个函数解析。【解析】由图象知，振幅A=3，又，∴。由点，令，得，∴。     【变式2】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如下图①所示，求函数解析式： 【解析】（1）∵T=(2+1)×4=12，∴  ，∴f（x）=Asin（x+φ）∵点C为最低点，对称轴为，，，∵，∴。又∵点在图象上，∴ ，∴A=2，∴         类型三：函数的性质的综合运用例4．函数的图象如图所示，试依图推出：（1）的最小正周期；（2）时x的取值集合；（3）使的x的取值集合；（4）的单调递增区间和递减区间；（5）使取最小值时的x的取值集合；（6）图象的对称轴方程；（7）图象的对称中心；（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？【解析】 （1）。（2）在一个周期中，使的x是，π，。故所求的x的取值集合是.（3）使的x的取值集合是。（4）的单调递增区间是；单调递减区间是。（5）取最小值时x的取值集合是。（6）对称轴方程是。（7）对称中心是。（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。举一反三：【变式1】已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（    ）A．在区间[―2π，0]上是增函数B．在区间[―3π，―π]上是增函数C．在区间[3π，5π]上是减函数D．在区间[4π，6π]上是减函数【答案】A 【变式2】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。（1）求函数的解析式；（2）求函数的递增区间。（3）求使y≤0时，x的取值范围． 【解析】（1）依题意得：，周期,  （或者直接代点）,故，又图象过点，，解得：，即。（2）由得：故函数的递增区间为：。（3）∵，∴．∴．【变式3】（2015  湖北高考）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx   Asin（ωx+φ）05 ﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值． 【解析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．        【变式4】已知f（x）的定义域为[－π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，．（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；（2）若，求x的所有可能取值．【解析】（1）当x∈[―π，0]时，―x∈[0，π]，由于f（x）为偶函数，则f（－x）=f（x），故，x∈（－π，0]即．画出f（x）的图象：由图象易得f（x）的单调增区间为和．（2）方程等价于f（x）=0或，当时f（x）=0；当0或时综上可知x的所有可能取值为0，，．  【巩固练习】1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）A．向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度     D．向右平移个单位长度1.【答案】C【解析】由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z），∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（﹣2x﹣）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y 2．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝的图象(　　)A．向右平移个单位      B．向右平移个单位C．向左平移个单位      D．向左平移个单位2．【答案】　A【解析】y＝sinx＝cos＝cos＝，∴须将y＝cos的图象向右平移个单位． 3．要得到y＝的图象，只需将y＝的图象(　　)A．向左平移个单位      B．向右平移个单位C．向左平移个单位      D．向右平移个单位3．【答案】B【解析】y＝sin＝sin 4．函数的图象经           平移后所得的图象关于点中心对称．A．向左平移个单位    B．向左平移个单位C．向右平移个单位     D．向右平移个单位4．【答案】D 【解析】设平移后得．当时，y=0，∴，∴，k=0，，故向右平移个单位． 5．已知a是实数，则函数的图象不可能是（    ）   5．【答案】D  6．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为(　　)A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z}      B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}C．{x|x＝4kπ－，k∈Z}      D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}6．【答案】A 7．函数的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（    ）A．    B．C．    D．7．【答案】B【解析】A=2，T=2×π=6π，又，所以，故，又过点（0，1），所以，，因为，所以，所以 8．若函数对于任意的都有成立，则的最小值为（      ）A． 1       B．  2         C．         D．48．【答案】B 【解析】由题知：是函数的最小值，是函数的最大值，是使得函数取得最小值的一个自变量，是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，的最小值应为半个周期．因为函数的最小正周期为4，所以的最小值为2． 9．函数在内 （  ）A．没有零点              B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点      D．有无穷多个零点【答案】B 10．函数的图象大致是（    ）10．【答案】A 【解析】∵函数，∴x+sin x≠0，x≠0，故函数的定义域为{x｜x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得，故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．（当x接近于0，则真数接近于0，故函数值接近于负无穷）当x∈（0，1）时，∵0＜sin x＜x＜1，∴，∴函数，故排除C，只有A满足条件，故选：A． 11．函数y=3sin(2x+)（0＜＜π）为偶函数，则=________．11．【答案】 12．函数（A，ω，为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω=________．12．【答案】3  【解析】 ，∴． 13．函数的部分图象如图所示，则           ．13．【答案】 【解析】，所以，计算得所以，且函数周期为8．所以  14．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．14．【解析】由，得，因为，所以又的图象关于点对称，所以，即，在区间上是单调函数，，，结合，可得，当时，在上是减函数；当时，在上是减函数；当时，在上不是单调函数；所以，综上得．