5.7 三角函数的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

三角函数的应用一.基础过关：1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.1.方法一　由图可知，T＝－＝π，即T＝，∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.方法二　由图可知，T＝－＝π，即T＝.又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0. 2.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　C　）（注意求φ时不宜代入零点）A．向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度      D．向右平移个单位长度 3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（　D　）A.y=sin2x               B.y=cos2x   C.y=sin（2x+）      D.y=sin（2x﹣）  4.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为(　D　)A．－      B．－      C．－      D．     5.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．5.解：(1)由图可知，其振幅为A＝2，由于＝6－(－2)＝8，所以周期为T＝16，所以ω＝＝＝，此时解析式为y＝2sin.∵点(2，－2)在函数y＝2sin的图象上，∴ ×2＋φ＝2kπ－，∴ φ＝2kπ－(k∈Z)．又|φ|<π，∴φ＝－.  故所求函数的解析式为y＝2sin.(2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得16k＋2≤x≤16k＋10(k∈Z)，∴函数y＝2sin的递增区间是[16k＋2，16k＋10](k∈Z)．当k＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π]．6.在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的值域．6.解　(1)由最低点为M得A＝2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2. 由点M在图象上得2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.(2)∵x∈，∴2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]． 二.提升：1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)．A．2　      B．4　      C．6　      D．82.已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调递减，则ω=　 1/2     　．(先求出w=,再因为T≥2π,所以w≤1) 3.若函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有10个零点，则ω的最小值为   9π    4.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为   π   ． 5.函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值． 5.(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝，因为0≤θ≤，所以θ＝.由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.(2)因为点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，所以点P的坐标为(2x0－，)．又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x0≤π，所以cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤，从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.   三．课后轻松时刻1.三角函数的一条对称轴为（  D  ）A.         B.        C.     D.2.三角函数的一个对称中心为（  B  ）A.     B.     C.     D.3.下列区间上函数为增函数的是（ C  ）A.    B.     C.     D. 4.将余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为(  B  )A.     B.       C.     D. 5.y＝|cos x|的一个单调增区间是(　D　)A．      B．[0，π]      C．      D．6.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ B  ）A.     B.     C.     D.7.要得到函数的图像，只需将函数的图像（   A    ）A.向右平移个单位      B.向右平移个单位C向左平移个单位      D.向左平移个单位     8.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(  B  )A．向右平移个单位长度      B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度      D．向左平移个单位长度9.已知函数的最小正周期为，若将的图象向左平移个单位后得到函数的图象关于y轴对称，则函数的图象（  B  ）A. 关于直线对称      B. 关于直线对称   C. 关于点对称      D. 关于点对称10.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　B　)．A.　     B．　     C．2　     D．311.不等式的解集为         12.函数的值域为        ，并且取最大值时x的值为       13.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=　0     　． 14.已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是　15.已知函数在一个周期内的图象如图，求直线与函数图象的所有交点的坐标． 15.．由，即，得或，．所以或，．所以所求交点的坐标为或，其中 16.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． 16.解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，所以sin＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z.因此－π<φ<0，所以当k＝－1时得φ＝－.(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋π，(k∈Z)所以函数y＝sin的单调增区间为：，k∈Z.(3)由y＝sin知：令z＝2x－π，x∈[0，π] ②描点连线得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如下：   17.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．17.解　(1)函数解析式为f(x)＝sin. (2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．   18.已知是定义在上的奇函数，且当时，．当时，求．18.解：因为是定义在R上的奇函数，所以．因为当时，，所以若，则．所以．又因为，即，所以．所以 提升：1.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　A　)A.      B.      C.      D.2.已知函数在一个周期内的图象如图所示．若方程在区间上有两个不同的实数解，则的值为（D  ）A．     B．     C．     D．或 3.设f(n)＝cos，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于(　B　)A.      B．－      C．0      D.3.解析：f(n)＝cos的周期T＝4；f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－.4.已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤ 对x∈R恒成立，且f<f(π)，则下列结论正确的是(　D　)．A．f＝－1        B．f>fC．f(x)是奇函数       D．f(x)的单调递增区间是(k∈Z)5.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(D　　)  5.D　[当a＝0时f(x)＝1，C符合，当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，当|a|>1时T<2π，B符合．排除A、B、C，故选D.] 6.已知f(x)＝2sin－m在x∈上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．6.解析：f(x)有两个零点，即m＝2sin，在上有两个不同的实根．当x∈时，2x－∈，结合正弦曲线知m∈[1，2)．答案：[1，2)7.方程sin πx＝x的解的个数是7个．7.在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，故有7个解． 8.若函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有10个最大值，则ω的最小值为．   8.    9.若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是      10.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是[-1.5,3]