5.5.2 两角和与差的正弦、余弦与正切公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

两角和与差的正弦、余弦和正切公式要点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：       要点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数：       在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数：        要点三：两角和与差的正切函数利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.                  要点四：辅助角公式1．形如的三角函数式的变形：=令，则==（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定。） 【典型例题】类型一：两角和与差的三角函数公式的正用例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。 【解析】  ∵，，且、均在第二象限，故，，故== 举一反三：【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。【解析】  由，得：，又由，为第三象限角得：，∴，。 例2．已知，．（1）求的值；    （2）求的值． 【解析】（1）∵，，∴，，∴；（2）化简可得             举一反三：【变式1】（1）已知．求的值．（2）已知求的值。 【解析】（1）由题意，∵ ∴ ，∴ ，所以．（2）,又=           = 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。（1）求的值；（2）求的值。【解析】由三角函数定义可得，又因为为锐角，所以因此（1）；（2）所以，为锐角， 类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用例3。计算下列各式的值：（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；（2）；（3）。 【解析】（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)=sin163°sin223°+cos163°cos223°=cos(223°－163°)=cos60°=.（2）。（3）。举一反三：【变式1】求值：【解析】原式== 【变式2】求下列各式的值：（1）；      （2） 【解析】（1）原式=；  （2）原式==       ==1  【变式3】化简：。【解析】原式。  类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用例4．已知，求证：  【证明】         得                    举一反三：【变式1】在锐角△ABC中，求证：（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）。 【证明】（1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。（2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。左边右边。所以原式成立。 类型四：辅助角公式的应用例5．化简下列各式：（1）；（2）；（3）。【解析】（1）（2）。（3）。举一反三：【变式1】化简下列各式：（1）sin x+cos x；  （2）sin x-cos x；  （3）。【解析】（1）sin x+cos x=；（2）sin x-cos x=；（3）= 类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用例6．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；（Ⅱ） 若∣AB∣=， 求的值. 【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，，  ， ∵的终边在第一象限，∴．  ∵的终边在第二象限，∴  ． ∴==+=． （Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，又∵，   ∴．∴．方法（2）∵，∴=．   举一反三：【变式1】已知函数。的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调递增区间为（    ）A．，    B．，C．，      D．，【答案】C【解析】。因为函数的图象与y=2的两个相邻交点的距离为π。所以。即ω=2。所以。令得。即（）。所以函数的单调区间为（）。 【变式2】已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值． 【解析】(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.∴f(x)的最小正周期为π.(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，∴－≤sin(2x＋)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1. 【变式3】函数，x∈R，函数f（x）与函数g（x）的图象关于原点对称．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．【解析】（1）设点（x，y）是函数y=f（x）的图象上任意一点，由题意可知，点（―x，―y）在y=g（x）的图象上，于是有：，x∈R．所以，，x∈R．（2）由（1）可知，，x∈[0，π]，记D=[0，π]．由，k∈Z，解得，k∈Z，则函数f（x）在形如，k∈Z的区间上单调递增．结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k只能是0和1．令k=0得；k=1时，得．所以，，．于是，函数f（x）在[0，π]上的单调区递增区间是和． 【变式4】．已知向量，，且，其中．    （1）求的值；（2）若，，求cos x的值．【解析】（1）由，得，，又，；（2），即，因为，，，【变式5】．已知锐角△ABC中，，．（1）求证：tanA=2tanB；（2）求tanA的值．【解析】（1）证明：因为，，所以，所以，所以，所以tanA=2tanB．（2）因为，所以，，即．将tanA=2tanB代入得2tan2B－4tanB－1=0，得（舍去），．所以．