高中人教版新课标A1.2充分条件与必要条件教学设计

这是一份高中人教版新课标A1.2充分条件与必要条件教学设计，共15页。教案主要包含了自主导学，互动探究，易误辨析，课堂小结，双基达标，知能检测，填空题，备课资源等内容，欢迎下载使用。

充分条件与必要条件
一：教法分析
●三维目标
1.知识与技能
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．
2．过程与方法
(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；
(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；
(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；
(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．
●重点难点
重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．
二：方案设计
●教学建议
基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．
指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．
●教学流程
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
三、自主导学
课标解读
1.理解充分、必要、充要条件的意义．(重点)
2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．(重点、难点)


充分条件、必要条件与充要条件
【问题导思】　
观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.

1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？
【提示】　①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开
关A不一定闭合，即p⇒q，qDp；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pDq，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pDq，且qDp.
2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？
【提示】　p⇔q.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件

2.充要条件的概念
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.
四、互动探究

充分条件、必要条件、充要条件的判断
　
　(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　)
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④　　　　　　　　 B．②③
C．①②③ D．①②④
(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路探究】　(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？
(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？
【自主解答】　(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；
④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.
(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qDp，即p是q的充分不必要条件．
【答案】　(1)D　(2)A

1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．
2．判定方法常用以下几种：
(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．
(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．

已知如下三个命题中：
①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；
③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.
则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；
④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
正确的结论是________．
【解析】　①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.
∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②∵a>bDac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.
∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．
③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒＝，即ab＝1，
∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．
④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.
∴是充要条件，④正确．
【答案】　①③④


充分条件、必要条件、充要条件的应用

　(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．
(1)求集合B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【思路探究】　(1)不等式x2－ax－2a2＞0的解集是什么？
(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？
【自主解答】　(1)x2－ax－2a2＞0⇔(x－2a)(x＋a)＞0，
解得x＞－a或x＜2a.
故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}．
(2)法一　若綈p是綈q的必要不充分条件，
则綈q⇒綈p，
由此可得p⇒q，
则A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}
＝{x|x≥3或x≤－2}
由p⇒q，
可得A⊆B，
∴，⇒a＞－1.
法二　A＝{x|x≥3或x≤－2}，∁UA＝{x|－2＜x＜3}，而∁UB＝{x|2a≤x≤－a}，
由綈p是綈q的必要不充分条件，
可得綈q⇒綈p，
也即∁UB⊆∁UA，
∴，⇒a＞－1.

1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．

已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【解】　法一　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，
綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．
∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB.
∴解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
法二　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.
∴解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}.

充要条件的证明
　求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜.
【思路探究】　先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．
【自主解答】　充分性(由条件推结论)：
∵0＜m＜，
∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，
∴方程有两个不等的实根．
设方程的两根为x1、x2，当0＜m＜时，x1＋x2＝＞0且x1x2＝＞0，故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
必要性(由结论推条件)：
若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有，
∴0＜m＜，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜.
综上，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.


1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．

　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
(2)证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
五、易误辨析
因考虑不周到致误
　一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)
A．m＞0，n＞0　　　　　 B．mn＜0
C．m＜0，n＜0 D．mn＞0
【错解】　由题意可得，一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即解得m＞0，n＞0，所以选A.
【答案】　A
【错因分析】　p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则qDp且p⇒q，故本题应是题干⇒选项，而选项D题干，选项A为充要条件．
【防范措施】　要说明p是q的充分不必要条件，须满足p⇒q，但qDp；要说明p是q的必要不充分条件，须满足pDq，但q⇒p；要说明p是q的充要条件，须满足p⇒q且q⇒p，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．
【正解】　一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即得m＞0，n＞0.
故由函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn＞0，而由mn＞0不一定推出函数y＝－x＋的图象过一、二、四象限，所以选D.
【答案】　D
六、课堂小结
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．
(2)集合法
从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件．
②若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价转化法
当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．
(4)传递法
充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可得p1⇒pn，充要条件也有传递性．
七、双基达标
1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的(　　)
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】　当x＝3时，x2＝9；
但x2＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
【答案】　A
2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．
【答案】　B
3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．
【答案】　x2＋(y－2)2＝0　x(y－2)＝0
4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝，则p是q的什么条件？
【解】　因为x＝1或x＝2⇒x－1＝；x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.
八、知能检测
一、选择题
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当m＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，
但m2＝4时，m＝±2，
∴A∩B＝{4}得m＝±2.
【答案】　A
2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－，)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　在(－，)中，函数y＝tan x为增函数，所以设α、β∈(－，)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．
【答案】　C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：AB，q：x∈A⇒x∈B
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】　易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.
但a>b且c>d，
可得a＋c>b＋d
∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.
【答案】　A
4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】　由“α＞β”D“sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D“α＞β”，应选C.(也可以举反例)．
【答案】　C
5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是(　　)
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cos α＝cos β；tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
A．①②　　　B．②③　　　C．③④　　　D．①④
【解析】　①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q的充要条件．
②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．
③当α＝β＝kπ＋时，tan α，tan β无意义，所以p是q的必要不充分条件．
④p是q的充要条件．
【答案】　D
二、填空题
6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
【答案】　②③④
7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．
【解析】　“b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列“⇒”“b2＝ac”．
【答案】　必要不充分
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝______.
【解析】　直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.
【答案】　－
三、解答题
9．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：≤，q：x2＋x－3≥0；
(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
【解】　(1)化简得p：，
q：.如图

由图可知，，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；
②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，
有
解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
所以pD⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)对于p：A∪B＝A⇔B⊆A，对于q：A∩B＝B⇔B⊆A，
即p⇔q，所以p是q的充要条件．
10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】　∵A是B的充分不必要条件，
∴AB.
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.
11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】　充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A＋B)＝sin B，
即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＝sin A.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴a2＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.
九、备课资源

试求关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
【自主解答】　如果方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根，
设两负根为x1，x2，则x1x2＝1，
∴解之得m≥2.
因此m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件．
下面证明充分性．
因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1x2＝1＞0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2＜0，
所以x1，x2同为负数．
故m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．

求关于x的不等式kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立的充要条件．
【解】　kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立．
⇔⇔k＞.