人教版新课标A选修2-11.2充分条件与必要条件学案

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1．充分条件与必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p⇒q．(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x＞0”是“eq \r(3,x2)＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当x＞0时，eq \r(3,x2)＞0成立；但当eq \r(3,x2)＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“acD．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B [若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]
3．“|x－2|≤3”是“－1≤x≤5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [由|x－2|≤3得－1≤x≤5，故选C．]
4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
②p：x>0，y>0，q：xy>0；
③p：a>b，q：a＋c>b＋c．
①③ [在①③中，p⇔q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，qp，所以②中p不是q的充要条件．]
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：eq \f(a,b)＜1．
思路探究：判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但pq，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0．因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，eq \f(a,b)＞1；
当b＞0时，eq \f(a,b)＜1，故若a＜b，不一定有eq \f(a,b)＜1；
当a＞0，b＞0，eq \f(a,b)＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，eq \f(a,b)＜1时，可以推出a＞b．
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件；
若p⇔q，则p与q互为充要条件；
若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
eq \O([跟进训练])
1．(1)设x∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)得－eq \f(1,2)＜x－eq \f(1,2)＜eq \f(1,2)，解得0＜x＜1．
由x3＜1得x＜1．当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．]
(2)设函数f(x)＝cs x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C [∵f(x)＝cs x＋bsin x为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cs(－x)＋bsin(－x)＝cs x＋bsin x，
∴2bsin x＝0．由x的任意性，得b＝0．
故f(x)为偶函数⇒b＝0．必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cs x是偶函数．充分性成立．
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．]
【例2】 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0C．x>0 D．x<4
(2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．
思路探究：(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．
(1)B [由x2－4x<0得0(2)证明：充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝eq \f(c,a)<0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝eq \f(c,a)<0，
即ac<0，
此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bc＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．
1．探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
eq \O([跟进训练])
2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)<0得0(2)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[答案] B
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA．
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？
[提示] 若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例3】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
思路探究：→ eq \x(列不等式组求解)
{m|m≥9}(或[9，＋∞)) [由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp．
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9．
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq．
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0即m的取值范围是(0,3]．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1,5]．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p、q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B．]
2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A．]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1．]
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
充分条件、必要条件、充要条件的判断
充要条件的探求与证明
充分条件、必要条件、充要条件的应用