人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系教学设计及反思

命题

一：教法分析

●三维目标

 1.知识与技能

理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．

2．过程与方法

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．

●重点、难点

重点：命题的概念、命题的构成．

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．

二：方案设计

●教学建议

命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．

●教学流程

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三、自主导学

【问题导思】

观察下列实例：

①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；

②4是集合{1,2,3,4}的元素；

③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；

④作△ABC∽△A′B′C′

上述语句中，哪些能判断真假？

【提示】　①、②、③、④是祈使句不能判断真假．

1．定义

在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．分类

①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.

【问题导思】　

1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？

【提示】　是命题，为假命题．

2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？

【提示】　若两个角为同位角，则这两个角相等．

　命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.

四、互动探究

例1　判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)x－2＞0；

(2)梯形是不是平面图形呢？

(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；

(4)这盆花长得太好了！

(5)若x＜2，则x＜3.

【思路探究】　(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？

【自主解答】　(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．

(2)不是命题，疑问句不是命题．

(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝)

(4)不是命题，感叹句不是命题．

(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．

（一）规律方法

判断一个语句是否为命题的步骤：

(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．

(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．

（二）变式训练

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；

(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；

(3)作△ABC∽△A′B′C′.

【解】　(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．

(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．

(3)不是命题，祈使句不是命题．

例2　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

(2)若x＝4，则2x＋1＜0；

(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．

【思路探究】　

【自主解答】　(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．

命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．

命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．

命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．

(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．

（一）规律方法

1．真假命题的判定方法：

(1)真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．

（二）互动探究

在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．

【解】　(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.

(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．

(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.

例3　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)两个周长相等的三角形面积相等；

(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；

(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.

【思路探究】　(1)这些命题的条件与结论分别是什么？

(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？

【自主解答】　(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；

(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；

(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；

(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．

（一）规律方法

1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．

2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．

（二）变式训练

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

【解】　(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；

(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

五、易误辨析

因知识欠缺，导致对命题真假判断失误

典例　判断下列命题的真假．

(1)若a＞b，则＜；

(2)x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一个根．

【错解】　(1)真命题．　(2)假命题．

【错因分析】　(1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a、b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞b但＞.

(2)因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．

【防范措施】　平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．

【正解】　(1)假命题　(2)真命题

六、课堂小结

1．判断一个语句是否是命题要注意两点：

(1)是不是陈述句；

(2)能否判断真假．

2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p，则q”的形式再加以判断.

七、双基达标

1．下列语句中是命题的是(　　)

A.是无限不循环小数　　 B．3x≤5

C．什么是“温室效应”   D．《非常学案》真好呀！

【解析】　疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．

【答案】　A

2．下列命题中是假命题的是(　　)

A．5是15的约数　　　  B．对任意实数x，有x2＜0

C．对顶角相等   D．0不是奇数

【解析】　对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．

【答案】　B

3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．

【答案】　若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行

4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．

(1)求证：是无理数．

(2)若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．

(3)末位数字是0的整数能被5整除．

(4)你是高二的学生吗？

【解】　(1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.

八、知能检测

一、选择题

1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是(　　)

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

【解析】　A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．

【答案】　D

2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(　　)

A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

【解析】　“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．

【答案】　C

3．下列命题中，是真命题的是(　　)

A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集

B．若x2＝1，则x＝1

C．空集是任何集合的真子集

D．若＝，则x＝y

【解析】　A中方程在实数范围内无解，故为假命题；B中，若x2＝1，则x＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C为假命题，D为真．

【答案】　D

4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)

A．4　　　　B．2　　　　C．0　　　　D．－3

【解析】　方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故当a＝0时适合条件．

【答案】　C

5．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．

其中真命题共有(　　)

A．0个   B．1个  C．2个   D．3个

【解析】　①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，

所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；

②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；

③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．

【答案】　B

二、填空题

6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．

【答案】　若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．

7．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即可)

【解析】　当x＞0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x＞0}．

【答案】　{x|x＞0}

8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac2＞bc2，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．

【解析】　①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac2≥bc2，故为假命题，④为真命题．

【答案】　①④

三、解答题

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac＞bc时，a＞b；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【解】　(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．

(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．

10．判断下列命题的真假并说明理由．

(1)合数一定是偶数；

(2)若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；

(3)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根．

【解】　(1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．

(2)真命题．因为ab＞0，则a、b同号．

又a＋b＞0故a、b不能同负，

故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.

(3)真命题．因为当m＞时，Δ＝1－4m＜0；

∴方程无实根．

11．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．

【解】　因为ax2－2ax－3＞0不成立，

所以ax2－2ax－3≤0恒成立．

(1)当a＝0时，－3≤0成立；

(2)当a≠0时，应满足

解之得－3≤a＜0.

由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0]．

九、备课资源

（一）备选例题

下列四个命题：

①若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；

②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；

③在平面直角坐标系内，点M(|a|，|a－3|)与N(cos α，sin α)在直线x＋y－2＝0的异侧；

④规定下式对任意a，b，c，d都成立．

2＝·＝，则2＝.

其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．

【解析】　当a与b的夹角为π时，有a·b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是错误的；因为|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝sin－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有

2＝·

＝＝，

所以④是真命题，故填③④.

【答案】　③④

（二）备选变式

把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．

若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.

【解析】　设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．

【答案】　－3－log2x(x＞0)