高中2.4 圆的方程精练

  2.4  圆的方程

【题组一 圆的方程】

1．（2020·江苏如东高一期中）已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.

【答案】

【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=

所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为

2．（2020·江苏建邺.高一期中）已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.

【答案】

【解析】圆的标准方程为，则点，

线段的中点为，且，

因此，以为直径的圆的标准方程为.

故答案为：.

3．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）圆C的圆心为点，且经过点，则圆C的方程为________.

【答案】

【解析】由于圆C的圆心为点，且经过点，

圆的半径为，则,

所以圆的方程为，

故答案为：.

4．（2020·全国高二）圆心为且经过点的圆的方程为________.

【答案】

【解析】圆心为,则圆的半径为:，
所以所求的圆的方程为: ，
故答案为: .

5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理））经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.

【答案】

【解析】设圆的方程为

因为圆心在直线上，得，

所以可得圆的方程为，

因为圆经过点，

所以，解得，

因此，所求圆的方程为，

故答案为．

6．（2018·甘肃武威十八中课时练习）过三点、、的圆的方程为____________________.

【答案】.

【解析】点、的中点为（2，5），，中垂线为x=2.

点、的中点为，，所以,中垂线为x-7y+5=0.

两直线交点为圆心D（2，1），r=AD=5.所以圆的方程为，也即     .填.

【题组二 根据圆的方程求参数】

1．（2020·天津南开。高三二模）方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（    ）

A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)

C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]

【答案】D由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，

若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.

∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，

而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.故选：D.

2．（2020·包头市田家炳中学高二期中）方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（    ）

A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4

【答案】B

【解析】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为：

，解得故选：B

3．（2020·河北新华.石家庄二中高二月考）圆的圆心到直线的距离为2，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】圆的标准方程是，圆心为，

∴，解得．故选：B.

4．（2020·全国高二课时练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题，则解得故选：A

5．（2020·梅河口市第五中学高一月考）若，则方程表示的圆的个数为______．

【答案】1

【解析】方程 即方程，

可以表示以，为圆心、半径为的圆．

当时，圆心、半径为0，不表示圆．

当时，圆心、半径为1，表示一个圆．

当时，圆心，、，不表示圆．

当时，圆心，、，不表示圆．

综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，

故答案为：1．

【题组三 点与圆的位置关系】

1．（2020·苏州市相城区陆慕高级中学高一月考）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是(    )

A．(1,1) B．(0,1) C． D．

【答案】A

【解析】因为点在圆的内部，则，解得.故选A.

2．（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）若M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

【答案】A

【解析】因为M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，所以

因此圆心O到直线x0x+y0y=r2距离为，即直线x0x+y0y=r2与该圆相切，选A.

3．（2020·浙江高三月考）已知，，为单位圆上的三点，有，，则（    ）

A．0 B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】因为，，为单位圆上的三点，

所以原点是△的外心，

又因为，，

所以原点是△的重心，

所以△是正三角形，

该题为选择题，可以用特殊点来求解，

取，

此时，

故选：B.

4．（2020·江苏淮安.高一期中）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】把原点坐标代入圆的方程得:

解得：本题正确选项：

5．（2018·安徽太湖.高二月考）对于任意实数，点与圆的位置关系的所有可能是（   ）

A．都在圆内 B．都在圆外 C．在圆上.圆外 D．在圆上.圆内.圆外

【答案】B

【解析】把点代入圆方程，得，所以点P在圆外，选B.

5．（2020·盐城市伍佑中学高一月考）若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由曲线方程可知：曲线是圆心为，半径为的圆

曲线上所有的点均在第二象限内    ，解得：

的取值范围是本题正确选项：

【题组四 对称问题】

1．（2019·四川西昌.高二期中（理））圆关于直线对称的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意有，圆的圆心C，半径为3，设所求圆的圆心为，

由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称，

则，解得，

则所求圆的标准方程是．故选：A．

2．（2019·全国专题练习）已知圆C经过点,若圆C上存在点B与点A关于直线对称,且圆心为,则圆C半径为

A． B． C．10 D．20

【答案】B

【解析】圆C上存在点B与点A关于直线对称,则直线经过圆心,所以,

所以圆C半径,故选B.

3．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为(   )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，设圆的圆心为，

圆，其圆心为，半径为，

若圆与圆关于直线对称，

则点与关于直线对称，且圆的半径为，

则有，解可得，

则圆的方程为，故选B。

4．（2019·湖北襄阳.高二期末（理））点是圆上的不同两点，且点关于直线对称，则该圆的半径等于（　　）

A． B． C．3 D．1

【答案】C

【解析】圆的圆心坐标，

因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，

所以直线l：x-y+1=0经过圆心，

所以，k=4．

所以圆的方程为：即，圆的半径为3．

故选C．

【题组五 求轨迹方程】

1．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设中点的坐标为，则，

因为点在圆上，故，整理得到.

故选：D.

2．（2020·平罗中学高二月考（理））当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，线段的中点为，（如图）

则即，

点在圆上变动，即

即故选：B

3．（2020·全国高三一模（文））已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.

【答案】

【解析】如图所示，是线段的中点，则，

因为，于是，

在中，，，，

由勾股定理得，

整理得的轨迹是.

故答案为：