高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品课堂检测

人教版高中数学选择性必修第一册2.4

《圆的方程》同步精选卷

一              、选择题

1.已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)

A.x2＋y2－x＝0            B.x2＋y2＋y－1＝0

C.x2＋y2－y－2＝0         D.x2＋y2－x＋y＝0

2.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)∪(,+∞)    B.(- ,0)    C.(－2,0)      D.(-2,)

3.圆x2＋y2－2x－2y＋1=0上的点到直线x－y=2距离的最大值是(　　)

A.1＋          B.2         C.1＋          D.2＋2

4.圆(x－2)2＋y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是(　　)

A.(x－)2＋(y－1)2=4       B.(x－)2＋(y－)2=4

C.x2＋(y－2)2=4              D.(x－1)2＋(y－)2=4

5.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)

A.x2＋(y－2)2=1               B.x2＋(y＋2)2=1

C.(x－1)2＋(y－3)2=1          D.x2＋(y－3)2=1

6.一个圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(　　)

A.(x－)2＋y2＝         B.(x＋)2＋y2＝

C.(x－)2＋y2＝         D.(x－)2＋y2＝

7.过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　)

A.5x＋12y＋20＝0         B.5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0

C.5x－12y＋20＝0         D.5x－12y＋20＝0或x＋4＝0

8.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)

A.2         B.4         C.6         D.2

9.已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.3         B.6          C.4         D.2

10.由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)

A.1           B.2          C.          D.3

11.若方程 －x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(　　)

A.－4≤m≤4         B.－4≤m≤4

C.－4≤m≤4              D.4≤m≤4

12.已知a，b是实数，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是(　　)

A.[2－2，2＋]

B.(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)

C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D.(－∞，－2]∪[2＋2，＋∞)

二              、填空题

13.圆x2＋y2＋2x－2y＝0的半径为________.

14.已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆的方程是__________．

15.若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________.

16.已知AB为圆x2＋y2=1的一条直径，点P为直线x－y＋2=0上任意一点，则·的最小值为________.

三              、解答题

17.已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

18.已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14=0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程.

19.设圆的方程为x2＋y2=4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

20.已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y=1相切，且圆心在直线y=－2x上.

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.

21.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R).

(1)求证：直线l恒过定点；

(2)判断直线l与圆C的位置关系；

(3)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长.

22.已知圆C：x2＋(y－1)2=5，直线l：mx－y＋1－m=0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)若直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|=时，求m的值.

23.已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

0.答案解析

1.答案为：B

解析：设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简得x2＋y2＋y－1＝0.故选B.

2.答案为：D.

解析：方程化简为2＋(y＋a)2=1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.]

3.答案为：A.

解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2=1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，

则圆心到直线x－y=2的距离d==，

故圆上的点到直线x－y=2距离的最大值为d＋1=＋1，选A.]

4.答案为：D.

解析：设所求圆的圆心为(a，b)，

则∴∴圆的方程为(x－1)2＋(y－)2=4.]

5.答案为：A.

解析：设圆心为(0，a)，则=1，解得a=2，

故圆的方程为x2＋(y－2)2=1.故选A.]

6.答案为：C

解析：由题意可得圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则，解得a＝，r2＝，则该圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.

7.答案为：B

解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，

由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.

当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，

即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.

此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.故选B.

8.答案为：C

解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，

由直线l是圆C的对称轴，知直线l过圆心C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，

所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝＝＝6.故选C.

9.答案为：D

解析：圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，

∴BD＝2BE＝2＝2.S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝BD·EA＋BD·EC＝BD·(EA＋EC)

＝BD·AC＝×2×2＝2.故选D.

10.答案为：C

解析：解法一：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，

圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，

故切线长的最小值为＝＝.

解法二：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得

|PC|＝ ＝ ，由m∈R可得|PC|min＝.

11.答案为：B

解析：由题意知方程＝x＋m有实数解，

分别作出y＝与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4.故选B.

12.答案为：B

解析：∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，

∴圆心到直线的距离d＝＝1，即ab＝a＋b＋1，

∴a＋b＋1≤，∴a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，故选B.

二              、填空题

13.答案为：

解析：由x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2，所以所求圆的半径为.

14.答案为：x2＋y2－6x－2y=0

解析：法一：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，

依题意可得解得

故三角形OAB的外接圆的方程是x2＋y2－6x－2y=0.

法二：因为直线OA的斜率 kOA==2，直线AB的斜率kAB==－，kAB×kOA=2×（- ）=－1，所以三角形OAB是直角三角形，点A为直角顶点，OB为斜边，

因为|OB|==，故外接圆的半径r===，又OB的中点坐标为(3，1)，

故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2=10，

即x2＋y2－6x－2y=0.

15.答案为：0

解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为C(1，－2)，因为直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，所以圆心C(1，－2)在直线2x＋y＋m＝0上，

所以2×1－2＋m＝0，解得m＝0.

16.答案为：1.

解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，则B(－cos θ，－sin θ)，

∴=(cos θ－x，sin θ－x－2)，=(－cos θ－x，－sin θ－x－2)，

∴·=(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)

=x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ=2x2＋4x＋3=2(x＋1)2＋1，

当且仅当x=－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.

三              、解答题

17.解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，

∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).

(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，

∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.

又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，

∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.

易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，

当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，解得m＝±.

把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，

解得x＝.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0).

又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴<x≤3.

∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3，其轨迹为一段圆弧.

18.解：如图，设所求轨迹上任一点M(x，y)，

圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2=4.

圆心C(3，3).

因为CM⊥AM，所以kCM·kAM=－1，

即·=－1，

即x2＋(y＋1)2=25.

所以所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2=25(已知圆内的部分).

19.解：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2).

因为A、B在圆上，所以x＋y=4，x＋y=4，

两式相减得x－x＋y－y=0，

所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)=0.

当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·=0，①

并且②

将②代入①并整理得x2＋(y－)2=.③

当x1=x2时，点A、B的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足③.

所以点P的轨迹方程为x2＋(y－)2=.

20.解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则=.

化简，得a2－2a＋1=0，解得a=1.

∴C(1，－2)，半径r=|AC|==.

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，

此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，

由题意得=1，解得k=－，∴直线l的方程为y=－x.

综上所述，直线l的方程为x=0或y=－x.

21.解：(1)证明：直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4=0.

因为m∈R，

所以解得

所以直线l恒过定点A(3，1).

(2)解：圆心C(1，2)，|AC|==<5，

所以点A在圆C内.

从而直线l与圆C相交(无论m为何实数).

(3)解：当m=0时，直线l的方程为x＋y－4=0，

圆心C(1，2)到它的距离为d==.

所以此时直线l被圆C截得的弦长为2=2=7.

22.解：(1)由已知l：y－1=m(x－1)，

故直线恒过定点P(1,1).

∵12＋(1－1)2<5，

∴P(1,1)在圆C内.

∴直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解法一：圆半径r=，

圆心(0,1)到直线l的距离为d，

d==.

由点到直线的距离公式，得=，

解得m=±.

23.解：(1)因为圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，

所以圆C1的圆心坐标为(3,0).

(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx，M(x0，y0).

由得(1＋m2)x2－6x＋5＝0，则Δ＝36－20(1＋m2)>0，

解得－<m<，故x0＝，且<x0≤3.

因为m＝，所以x0＝，整理得(x0- )2＋y＝.

所以M的轨迹C的方程为(x0- )2＋y2＝(,3).

(3)存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点.

由(2)得M的轨迹C为一段圆弧，其两个端点为P，Q，

直线L：y＝k(x－4)过定点E(4,0)，

①kPE＝＝－，kQE＝＝，

当－≤k≤时，直线L与曲线C只有一个交点.

②当直线L与曲线C相切时，L的方程可化为kx－y－4k＝0，

则＝，解得k＝±.

综上所述，当－≤k≤或k＝±时，直线L与曲线C只有一个交点.