人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算同步测试题

三　向量的减法运算

　【基础全面练】　(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b     B．－a＋(－b)

C．a－b     D．b－a

【解析】选B.＝－＝－a－b＝－a＋(－b).

【加固训练】

 可以写成：①＋；②－；③－；④－，其中正确的是(　　)

A．①②      B．②③

C．③④      D．①④

【解析】选D.由向量的加法及减法定义可知①④符合．

2．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a＋b      B．b－a

C．c－b      D．b－c

【解析】选D.＝＝＝－＝b－c.

3．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)

A.    B．    C．    D．

【解析】选D.由题图易知＝，所以－＝－＝，又＝，所以－＝.

4．在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)

A．菱形      B．矩形

C．正方形     D．不确定

【解析】选B.因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为|－|＝|－|，所以||＝||.

所以四边形ABCD为矩形．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为____________．

【解析】a，b，a－b构成了一个直角三角形，则

|a－b|＝＝＝13.

答案：13

【加固训练】

 在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________.

【解析】延长CB到D，使CB＝BD，连接AD，如图．

在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，

－＝＋＝＋＝.

易求得AD＝，即||＝.

所以|－|＝.

答案：

6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a；＝d，则d－a＝________，d＋a＝________．

【解析】根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c.

d＋a＝＋＝＋＝＝b.

答案：c　b

三、解答题

7．(10分)如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量：(1)a－b；(2)a－b＋c.

【解析】(1)在正方形ABCD中，a－b＝－＝－＝.连接BD，箭头指向B，即可作出a－b.

(2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形，

所以a＋c＝＋＝.

在△ADF中，＝－＝a＋c－b＝a－b＋c，所以即为所求．

【加固训练】

 如图，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.

【解析】a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.

如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，

则＝，所以＝＋，

即为所求作的向量a－c＋b－d－e.

　【综合突破练】　(15分钟　30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．有下列不等式或等式：

①|a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|；

②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；

③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；

④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.

其中，一定不成立的个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选A.①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b方向相同时成立．

2．(多选题)(2021·泰安高一检测)下列各式中结果为零向量的是(　　)

A．＋＋＋

B．＋＋

C．＋＋＋

D．－＋－

【解析】选BD.由向量加法的法则得

A：＋＋＋＝＋＋＝，

故结果不为零向量；

B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；

C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；

D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．

【加固训练】

 (多选题)下列说法正确的是(　　)

A．若＋＝，则－＝

B．若＋＝，则＋＝

C．若＋＝，则－＝

D．若＋＝，则＋＝

【解析】选ABC.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A，B，C都正确．由相反向量定义知，若＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误．

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝__________．

【解析】由于＝－，而＝－＝a－b，＝－＝－c，所以＝a－b＋c.

答案：a－b＋c

4．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________，||的范围是____________．

【解析】因为－＋

＝＋＋＝，又因为||＝2，

所以|－＋|＝||＝2.

又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||

即0<||<4.

答案：2　(0，4)

三、解答题

5．(10分)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求.

【解析】设＝a，＝b，则＝－＝a－b.

因为|a|＝|b|＝|a－b|，

所以BA＝OA＝OB.

所以△OAB为正三角形．设其边长为1，

则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝.

所以＝＝.

【加固训练】

 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.

求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.

【证明】因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA＝CB.

又M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM.

(1)因为－＝，又||＝||，

所以|a－b|＝|a|.

(2)因为M是斜边AB的中点，所以＝，

所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，因为||＝||，

所以|a＋(a－b)|＝|b|.