7　导数的应用-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

§7　导数的应用

7.1　实际问题中导数的意义 

 7.2　实际问题中的最值问题

基础过关练

题组一　实际问题中导数的意义

1.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2(t表示时间),则t=2时,汽车的加速度是              (　　)

A.14 B.4 C.10 D.6

2.从时间t=0开始的t s内,通过某导体的电量(单位:C)可由公式Q=2t2+3t表示,则第5 s时的电流强度为              (　　)

A.27 C/s B.20 C/s C.25 C/s D.23 C/s

3.(2020河南信阳高二下期末)一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是s=t3-t2+6t,那么速度为零的时刻是              (　　)

A.1秒末 B.2秒末  C.3秒末 D.2秒末和3秒末

4.(2020山东平邑、沂水高二下期中联考)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s=t+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2(m为物体的质量,v为物体的运动速度,动能单位:J),则物体开始运动后第7 s时的动能是　              (　　)

A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J

5.一物体做的功W与时间t的关系式为W=t2+10(功的单位:J,时间单位:s),则该物体在t=3 s时的功率为　　　　J/s. 

6.某工厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c(单位:元)与生产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.

(1)求产量为1 000台时的总利润与平均利润;

(2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量;

(3)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义.

题组二　实际问题中的最值问题

7.(2021豫北名校高二上质检)根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得的最大利润为              (　　)

A.8 600元 B.8 060元

C.6 870元 D.4 060元

8.(2021福建福州高二上期末)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形,做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2,则a的最小值为              (　　)

A.1 B.2 

C.3 D.3

9.(多选)如图是外层类似于“甜筒冰激凌”的立体图形,上部分是体积为10π的半球,下部分是高度为6的圆锥,在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,则该小圆锥体积可以为              (　　)

A.10π B.18π 

C.30π D.40π

10.(2021湖北孝感高中协作体高二下联考)某果园种植橘子每年的固定成本为10万元,每年最大产量为13万千克,每种1千克橘子,成本增加1元,已知销售额与产量满足关系f(x)=-x3+3ax2+x(x是橘子产量,单位:万千克,销售额单位:万元,a为常数),产量为2万千克时,利润为18万元,则a=　　　　;要使利润最大,每年需产橘子　　　　万千克. 

11.(2021河南部分重点中学高二下联考)周长为10的矩形绕一条短边所在的直线旋转一周形成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为　　　　. 

12.(2021山东胶州实验中学高三上月考)某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比.已知当速度为10千米/时时,燃料费为10元/时,其他与速度无关的费用每小时180元.

(1)求轮船的速度为多少时,每千米航程的成本最低;

(2)若轮船限速20千米/时,求每千米航程的最低成本.

13.(2021江苏淮安五校高三上联考)如图,公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上,AB为直径),现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C,道路上B点的右边取一点D,使OC垂直于CD,且OD的长不超过20米.在扇形区域AOC内种植花卉,三角形区域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用为每平方米200元,铺设草皮的费用为每平方米100元.

(1)设∠COD=x(单位:弧度),将总费用y(单位:元)表示为x的函数式,并写出x的取值范围;

(2)当x为何值时,总费用最低?并求出最低总费用.

答案全解全析

§7　导数的应用

7.1　实际问题中导数的意义

7.2　实际问题中的最值问题

基础过关练

1.A　速度v(t)=s'(t)=6t2-10t.所以加速度a(t)=v'(t)=12t-10,当t=2时,a(t)=14,即t=2时,汽车的加速度为14.

2.D　因为Q=2t2+3t,所以Q'=(2t2)'+(3t)'=4t+3.所以Q'(5)=23(C/s).

3.D　∵s=t3-t2+6t,∴s'=t2-5t+6,易知t≥0,令s'=0,解得t=2或t=3.故选D.

4.A　由题意得s'=1+t,即v=1+t,当t=7时,v=8,所以Ek=×5×82=160(J).

故选A.

5.答案　6

解析　∵W=t2+10,∴W'=2t,∴该物体在t=3 s时的功率为2×3=6 J/s.

6.解析　(1)产量为1 000台时的总利润为

c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元),

平均利润为=5 000.6(元).

(2)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量为

==2 000(元).

(3)∵c(x)=-2x2+7 000x+600,

∴c'(x)=-4x+7 000,

∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000,

c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000.

c'(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时,每多生产一台机械可多获利3 000元;c'(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时,每多生产一台机械可多获利1 000元.

7.B　设该超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)·=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,

则f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)(x-20)]=6(x-30)(x-50),20<x<50,

令f'(x)>0,得20<x<30,则f(x)在(20,30)上单调递增;令f'(x)<0,得30<x<50,则f(x)在(30,50)上单调递减.所以f(x)在x=30时取得极大值,也是最大值,最大值为f(30)=8 060.故选B.

8.C　设截去的小正方形的边长为x,则方盒的高为x,底面边长为a-2x,所以方盒的体积V=(a-2x)2·x,x∈,则V'=(a-2x)2+4(2x-a)x=(2x-a)(6x-a),

令V'=0,得x=(舍去)或x=.当0<x<时,V'>0,函数单调递增;当<x<时,V'<0,函数单调递减.则Vmax=·=≥2,则a≥3,故a的最小值为3.故选C.

9.ABC　设上部分半球的半径为R,则πR3=10π,解得R=.

设小圆锥的底面半径为r,底面中心到球心的距离为h,则r2+h2=15,

所以小圆锥的体积V=πr2(h+6)=π×(15-h2)(h+6)(0<h<).

令f(h)=(15-h2)(h+6)(0<h<),则f'(h)=-3(h+5)(h-1),

当0<h<1时,f'(x)>0,当1<h<时,f'(x)<0,则f(h)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,

所以当h=1时,f(h)取得极大值,也是最大值,f(h)max=f(1)=98,所以Vmax=,故A,B,C三个选项都满足题意.故选ABC.

10.答案　3;6

解析　因为产量为2万千克时,利润为18万元,

所以-23+12a+2-10-2=18,解得a=3,

所以f(x)=-x3+9x2+x,

设产量与利润的函数为g(x),

则g(x)=-x3+9x2+x-10-x=-x3+9x2-10,x∈(0,13],

则g'(x)=-3x2+18x,x∈(0,13],

令g'(x)=0,则x=0(舍去)或x=6,

因为当0<x<6时,g'(x)>0,当6<x≤13时,g'(x)<0,

所以当x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值.

11.答案　

解析　设矩形较长一边的长为x,则其邻边长为5-x.

由题意可知圆柱的底面半径为x,高为5-x,则圆柱的体积V=πx2(5-x)=5πx2-πx3,则V'=10πx-3πx2,

当x=时,V'=0,

当x∈时,V'>0,

当x∈时,V'<0,

所以函数V=5πx2-πx3在上单调递增,在上单调递减.

所以当x=时,V取得最大值,最大值为.

12.解析　(1)设燃料费为u元/时,速度为v千米/时,每千米航程的成本为y元,则u=kv3(k>0,v>0).

由10=k×103,得k=.

故y==v2+(v>0),则y'=.

令y'=0,得v=10.

当0<v<10时,y'<0,函数单调递减;当v>10时,y'>0,函数单调递增.

所以速度为10 千米/时时,每千米航程的成本最低.

(2)由(1)知,函数y=v2+在(0,20]上单调递减,

故当限速20千米/时时,ymin=×202+=13.

所以轮船限速20千米/时时,每千米航程的最低成本为13元.

13.解析　(1)易知扇形AOC的半径为10,∠AOC=π-x,且OD的长不超过20,

当OD=20时,x=,故0<x≤.

所以S扇形AOC==50(π-x),0<x≤.

在Rt△COD中,OC=10,CD=10tan x,

所以S△COD=·OC·CD=50tan x,

所以y=100S△COD+200S扇形AOC=5 000(tan x+2π-2x),0<x≤.

(2)设f(x)=tan x+2π-2x,0<x≤,

则f(x)=+2π-2x,0<x≤,f'(x)=-2=,0<x≤,

令f'(x)=0,解得x=,

所以当0<x<时,f'(x)<0,当<x≤时,f'(x)>0,

因此f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以当x=时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f=1+2π-=1+,

所以y的最小值为5 000+7 500π,

故当x=时,总费用最低,最低总费用为(5 000+7 500π)元.