高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.4 数学归纳法*同步达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.4 数学归纳法*同步达标检测题，共12页。
题组一 用数学归纳法证明等式
1.用数学归纳法证明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn,n∈N*成立.那么,“当n=1时,命题成立”是“对任意n∈N*时,命题成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.(2020陕西洛南中学高二月考)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
D.(k+1)4+(k+1)22
3.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设,应将5k+1-2k+1变形为( )
A.(5k-2k)+4×5k-2k
B.5(5k-2k)+3×2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.5(5k-2k)-3×5k
题组二 用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-11)时,第一步应验证的不等式是( )
A.1+12k+1成立,
则当n=k+1时,32×54×76×…×2k+12k×2k+32k+2>k+1×2k+32k+2=(2k+3)24(k+1)=4k2+12k+94(k+1)>4k2+12k+84(k+1)=4(k2+3k+2)4(k+1)=4(k+1)(k+2)4(k+1)=k+2=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得对任意的n∈N*,不等式32×54×76×…×2n+12n>n+1都成立,即原不等式成立.
8.B 依题意得,由n个圆增加到n+1个圆时,增加了2n个交点,这2n个交点将新增的圆分成2n段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域,因此f(n+1)=f(n)+2n.
9.答案 66
解析 设第n(n≥2且n∈N*)行的第二个数为an,由题图可知a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3(n≥2),累加可得an=n2-2n+3,所以第九行的第二个数a9=81-18+3=66.
10.解析 (1)∵Sn=2n-an,
∴当n=1时,S1=2×1-a1⇒a1=1,
当n=2时,S2=2×2-a2⇒a2=32,
当n=3时,S3=2×3-a3⇒a3=74,
当n=4时,S4=2×4-a4⇒a4=158,
由此猜想an=2n-12n-1(n∈N*).
(2)证明:①当n=1时,a1=1,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即ak=2k-12k-1,
则当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak
=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,
∴ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k,
所以当n=k+1时,猜想也成立.
综上所述,an=2n-12n-1(n∈N*)成立.
能力提升练
1.C 由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,
f(2)=3×36,f(3)=10×36,
f(4)=34×36,由此猜想m的最大值为36.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,
那么,当n=k+1时,
[2(k+1)+7]·3k+1+9
=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).
∵3k-1-1能被2整除,
∴18(3k-1-1)能被36整除,
∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对任意n∈N*,都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除.
故m的最大值为36. 故选C.
2.答案 12k+1-12k+2
解析 当n=k时,等式左边=1-12+13-14+…+12k-1-12k,
当n=k+1时,等式左边=1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1-12k+2,
因此,从“n=k”到“n=k+1”时,左边应增加的项是
1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1-12k+2-1-12+13-14+…+12k-1-12k=12k+1-12k+2.
3.解析 (1)第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.
猜想第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N*.
(2)证明:①当n=1时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,
即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,
则当n=k+1时,
(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2,即n=k+1时等式也成立.
根据①和②,可知对任意n∈N*等式都成立.
4.解析 (1)根据题意,当n=1时,有S1=a1=1;
当n=2时,S2=22a2=4(S2-S1)=4(S2-1),解得S2=43;
当n=3时,S3=32a3=9(S3-S2)=9S3-43,解得S3=32=64;
当n=4时,S4=42a4=16(S4-S3)=16S4-32,解得S4=85.
猜想Sn的表达式为Sn=2nn+1,n∈N*.
(2)证明:①当n=1时,S1=1=2×11+1,猜想正确;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想正确,即Sk=2kk+1,
那么当n=k+1时,由已知得Sk+1=(k+1)2ak+1=(k+1)2(Sk+1-Sk)=(k+1)2Sk+1-2kk+1,
即(k2+2k)Sk+1=2k(k+1),
∴Sk+1=2(k+1)k+2=2(k+1)(k+1)+1,
∴当n=k+1时,猜想也正确.
由①②可知对一切n∈N*,都有Sk=2kk+1成立,即猜想成立.
5.D 当n=k时,不等式左边为1k+1+1k+2+1k+3+…+12k,
当n=k+1时,不等式左边为1k+2+1k+3+1k+4+…+12k+12k+1+12k+2
=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2-1k+1,
即由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是12k+1+12k+2-1k+1,故选D.
6.解析 (1)因为an+12-an2=2,a1=1,
所以数列{an2}是首项为1,公差为2的等差数列,
所以an2=1+(n-1)×2=2n-1,
又an>0,所以an=2n-1.
(2)证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,所以不等式成立;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,
即1+13+…+12k-1≤2k-1,
那么当n=k+1时,
左边=1+13+…+12k-1+12k+1≤2k-1+12k+11时,Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,即Sk+12k+1=(k+1)2,
则当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可得对一切n∈N*,Sn2n=n2都成立.