高中苏教版 (2019)4.4 数学归纳法*教学设计

这是一份高中苏教版 (2019)4.4 数学归纳法*教学设计，共6页。教案主要包含了新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题．
教学重难点
重点：数学归纳法证明的原理及基本步骤．
难点：基本步骤的第二步推演过程．
教学过程
一. 情境引入
问题1：已知数列an满足a1=1，an+1=12−ann∈N∗，计算a2，a3，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想．
答案：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项． 令n=1，就有a2=12−a1，把a1=1代入，可得a2=1． 同理，令n=2，就有a3=12−a2，把a2=1代入，可得a3=1． 看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是an=1n∈N∗．
追问1：仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？
答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于22n+1这个数，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可以拆成两个数的乘积．通过以上反例，可看出从某种意义上说，仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想未必是正确的．
追问2：该如何证明这个猜想呢？
答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
二、新知探究
问题2：将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？
答案：可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下．
追问1：如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？
答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下． 因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下．
追问2：如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？
答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒． 所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少．进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下．
追问3：条件（1）与条件（2）有何联系？
答案：如果要从第一块开始所有骨牌都倒下，就要保证“，如果前一块倒下，那么后一块也能跟着倒下．”为了表示起来更方便，引入一个字母k，表述上把“前一块”给换成“第k块”． 条件（2）就是若第k块倒，则第k+1块也一定能倒． 关于k的取值，首先它是正整数，其次，还必须保证k能取从1开始的正整数，所以k≥1．
类似的，如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下，并且从第二块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，即k≥2．
一般的，如果要求从第n0n0∈N∗块开始，后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是：第n0块骨牌已经倒下，并且从第n0块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，也就是k≥n0．因此，条件（2）中k的最小值就是条件（1）中骨牌倒下的初始值．
追问4：多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列an的通项公式是an=1n∈N∗”有相似性吗？
答案：一方面，为了保证所有骨牌都倒下，两个条件缺一不可. 而问题1中“a1=1”和“an+1=12−ann∈N∗”这两个条件但凡有一个不知道，就无法写出任意一项．另一方面，问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项，“an+1=12−ann∈N∗”这个递推关系至关重要. 而多米诺骨牌游戏中的条件（2）实际上也是给出了一个递推关系：“第k块骨牌倒下”能推出“第k+1块骨牌倒下” ． 假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下． 这就是骨牌原理．这二者有一定的相似性，可以试着将多米诺骨牌游戏的两个条件类比、迁移到证明问题1中．
问题3：类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？
答案：需要分成两步．
追问1：多米诺骨牌游戏的条件（1）是确保第一块已经倒下．那么猜想的证明中第一步应该是什么呢？
答案：第一步应该证明猜想在n=1时成立．
追问2：骨牌原理的条件（2）是确保“如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下．”类似的，猜想的证明中就是要证明什么呢？
答案：第二步应该证明若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 如果能证明这一点，那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”，再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”，依此类推，就可以使这个猜想成立的范围从1开始，向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数，从而完成证明．
问题4：你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？
答案：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n=n0n0∈N∗时命题成立；（2）以“当n=k（k∈N∗，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立” ．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．特别地，当n0=1时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立．
追问1：所有命题都是从n=1开始成立吗？
答案：证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数. 如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证． 所以，证明的第一步是：证明当n=n0n0∈N∗时命题成立．
追问2：第二步中的k是怎样的正整数？
答案：k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0” ．
追问3：数学归纳法适用于怎样的数学问题?
答案：数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n) ．
追问4：数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？
答案：这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体. 第一步验证了当n=n0时这个命题成立，即Pn0为真. 第二步是假设假设Pkk∈N∗，k≥n0为真，由“Pk为真”推出“Pk+1也为真”. 第二步的Pk→Pk+1这个关系所关注的不是Pk和Pk+1是否分别成立，而是命题“若Pk为真，则Pk+1也为真”是否成立，强调的是这二者之间是否有递推关系．
三、应用举例
例1 用数学归纳法证明：若等差数列an中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an=a1+n−1d①
证明：(1)当n=1时，等式左边=a1，等式右边=a1+0×d=a1，等式①成立．
(2)假设当n=k时，等式①成立，即ak=a1+k−1d，那么，当n=k+1时，有
ak+1=ak+d=a1+k−1d+d=a1+k+1−1d．
这就是说，当n=k+1时等式①也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式①都成立．
想一想：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
答案：第一步是命题递推的基础，确定了n=n0时命题成立，n=n0成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水．就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒．我们把第一步称为是归纳奠基． 而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k+1块骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性．类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数接一个数地无限传递到n0以后的每一个正整数，从而完成证明． 所以，我们把第二步称为是归纳递推．“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可．只有把两步的结论结合起来，才能命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
例２ 用数学归纳法证明：当n∈N∗时，1+3+5+⋯+2n−1=n2．
证明：(1)当n=1时，等式左边=1，等式右边=1，等式成立．
(2)假设当n=k时等式成立，即1+3+5+⋯+2k−1=k2，
那么，当n=k+1时，有
1+3+5+⋯+2k−1+2k+1−1=k2+2k+1−1=k2+2k+1=k+12．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式①都成立．
例３ 用数学归纳法证明：当n∈N∗时，12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16．
证明：(1)当n=1时，12=1，1×1+1×2×1+16=1，等式成立．
(2)假设当n=k时等式成立，即12+22+32+⋯+k2=kk+12k+16，
那么，当n=k+1时，有12+22+32+⋯+k2+k+12=kk+12k+16+k+12=k+12k2+k+6k+66=k+12k2+7k+66=k+1k+22k+36=k+1k+1+12k+1+16．
所以当n=k+1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式都成立．
四、课堂练习
1.求证：1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n(n∈N∗)．
2.用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1=nn+12(其中n∈N∗)．
参考答案：
１.证明：(1)当n=1时，左边＝1−12=12，右边＝11+1=12．左边=右边，等式成立．
假设当n=kk≥1时等式成立，即1−12+13−14+⋯+12k−1−12k=1k+1+1k+2+⋯+12k，
则当n=k+1时，1−12+13−14+⋯+12k−1−12k+12k+1−12k+2=1k+1+1k+2+⋯+12k+12k+1−12k+2=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+12k+2=1k+1+1+1k+1+2+⋯+1k+1+k+12k+1，
即当n=k+1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式都成立．
2.证明：(1)当n=1时，左边＝1×4=4，右边＝1×22=4．左边=右边，等式成立．
(2)假设当n=kn∈N∗时等式成立，即1×4+2×7+3×10+⋯+k3k+1=kk+12，
则当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+⋯+k3k+1+k+13k+1+1=kk+12+k+13k+1+1=k+1k2+4k+4=k+1k+1+12，
即当n=k+1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式都成立．
五、课堂小结
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n=n0n0∈N∗时命题成立；（2）以“当n=k（k∈N∗，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立” ．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
六、布置作业
教材第159页第1，3，4题．