数学4.4 数学归纳法*教案设计

这是一份数学4.4 数学归纳法*教案设计，共5页。教案主要包含了新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题．
教学重难点
重点：数学归纳法证明的原理及基本步骤．
难点：基本步骤的第二步推演过程．
教学过程
一. 情境引入
问题1：什么时候需要应用数学归纳法？
答案：（1）问题的结论与自然数n相关；
（2）对于某一类自然数命题成立；（例如命题在连续自然数或所有偶数或奇数等范围成立）
（3）不能直接利用推理证明（或者直接证明不太好叙述）的情况下，利用数学归纳法．例如，要证明对任意的正整数n，等式n−1n+2=n2+n−2恒成立，可以直接利用多项式的乘法法则，左边展开，合并同类项，就能得到右边． 这时，我们就不必应用数学归纳法了. 再如，证明1+1nnn∈N∗的单调性，用数学归纳法就难以实现．
二、新知探究
想一想：下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？
求证：12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16 n∈N∗．
证明：假设当n=kk∈N∗时，等式成立，即12+22+32+⋯+k2=kk+12k+16，则当n=k+1时，有12+22+32+⋯+k+12=k+1k+1+12k+1+16，所以当n=k+1时等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式都成立．
答案：证法有错误．
问题2：这道题需要证明n=1的情况吗？
答案：这道题需要证明n=1的情况．这个证法只有第二步，而缺少了第一步，没有证明n=1的情况． 第一步是后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水．所以，我们应该先考虑当n=1时该式是否成立．当n=1时，该式的左边=12=1， 而右边=16×1×1+1×2×1+1=1×2×36=1．左边等于右边，所以n=1时该式成立．
追问1：上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？
答案：有错误，这个证法当n=k+1时，有12+22+32+⋯+k+12=k+1k+1+12k+1+16，直接把k给成k+1． 然后得到结论当n=k+1时也成立．而把k换成k+1的前提是12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16当n=k+1时成立，这正是我们要证明的结论，不能把它当作已经条件．
追问2：如何修改上述证法？
答案：首先要明确目标：我们是假设n=k时该式成立，并以此为条件证明n=k+1时该式也成立，从而证明命题的成立具有递推性．所以，12+22+32+⋯+k+12=k+1k+1+12k+1+16这个式子是需要我们证明的，是我们的目标．那该怎么证明呢？我们一定要用上假设． 既然假设当n=k时该式成立，那么12+22+32+⋯+k2=kk+12k+16这个式子就成了已知条件. 然后比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个k+12这一项，那不妨在式子两边同时加上k+12，就有12+22+32+⋯+k2+k+12=16kk+12k+1+k+12，再进行化简，我们的目标就达成了．说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，我们由这两个步骤就可知：对任何n∈N∗，等式都成立．
问题3：怎样正确地使用数学归纳法？
答案：首先，一定不要忘了验证第一步，我们称这一步为归纳奠基，它为后续的证明奠定了基础，是必不可少的．其次，我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有递推性，这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程 ．假设P（k）为真，要用上假设，以此为已知条件，证明P（k+1）也为真，要明确“用上假设，递推才真” ．
三、应用举例
例1 设n∈N∗，fn=5n+2×3n−1+1．
(1)当n=1，2，3，4时，计算fn的值．
(2)你对fn的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
分析：首先将n=1，2，3，4带入fn计算数值，然后根据数值猜想fn的解析式，再利用数学归纳法进行证明．
解：(1)当n=1时，f1=51+2×31−1+1=8=8×1；
当n=2时，f2=52+2×32−1+1=32=8×4；
当n=3时，f3=53+2×33−1+1=144=8×18；
当n=4时，f1=54+2×34−1+1=680=8×85．
(2)猜想：当n∈N∗时，fn=5n+2×3n−1+1能被8整除．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当n=1时，f1=51+2×31−1+1=8能被８整除，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即fk能被8整除，那么，当n=k+1时，有
fk+1=5k+1+2×3k+1−1+1=5×5k+6×3k−1+1
=5k+2×3k−1+1+45k+3k−1=fk+45k+3k−1．
这里，5k和3k−1均为奇数，它们的和5k+3k−1必为偶数，从而45k+3k−1能被8整除．又依归纳法假设，fk能被8整除，所以fk+1能被8整除．这就是说，当n=k+1时命题也成立．
这样，我们就通过“观察——归纳——猜想——证明”的过程解决了这一问题．
例２：在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？
解：记n条直线把平面分成rn个部分，我们通过n=1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况．
从图中可以看出，
r1=2=1+1，
r2=4=r1+2=1+1+2，
r3=7=r2+3=1+1+2+3，
r4=11=r3+4=1+1+2+3+4，
r5=11=r4+5=1+1+2+3+4+5，
由此猜想
rn=1+1+2+3+4+⋯+n．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n=1，2时，结论均成立．
（2）假设当n=k时结论成立，即rk=1+1+2+3+4+⋯+k．
那么，当n=k+1时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以
rk+1=1+1+2+3+4+⋯+k+k+1．
结论也成立．
根据（1）和（2）可知，对任何n∈N∗，都有rn=1+1+2+3+4+⋯+n，
即rn=1+nn+12．
四、课堂练习
１．用数学归纳法证明：1+12+13+⋯+12n≤12+nn∈N∗．
２．求凸n边形对角线的条数f(n)．
参考答案：
１.思路点拨：分别确定当n＝1，n＝k，n＝k＋1时不等式的左边的值，找到它们之间的关系，运用数学归纳法证题．
证明： （1）当n＝1时，1+12=32①，不等式成立．
（2）假设当n＝k（n∈N∗）时，不等式成立，即1+12+13+⋯+12k≤12+k，
则当n＝k＋1时，1+12+13+⋯+12k+12k+1+12k+2+⋯+12k+2k<12+k+2k∙12k=12+k+1，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由（1）和（2）可知，不等式对任意n∈N∗都成立．
２．猜想：fn＝nn−32n≥3,n∈N．
证明：（1）当n=3时，f3＝0，猜想成立．
（2）假设当n＝k（n≥3）时猜想成立，即k＝kk−32．则当n＝k+1时，考察k+1边形A1A2⋯AkAk+1．
①k边形A1A2⋯Ak中原有的对角线都是k+1边形的对角线，且边A1Ak也成为k+1边形的对角线．
②在Ak+1与A1，A2，⋯，Ak连接的k条线段中，除Ak+1A1，Ak+1Ak外，都是k+1边形的对角线，共有k−2条，所以fk+1＝fk+1+k−2=kk−32+k−1=k2−k−22=k−2k+12=k+1k+1−32，即当n＝k＋1时，猜想也成立．
综合（１）（２）可知，对任何nn≥3，n∈N猜想都成立．
五、课堂小结
通过本节课，你有哪些收获？
答案：这节课学习了数学归纳法的应用，回答了“什么时候需要应用数学归纳法”和“怎样正确地应用数学归纳法”这两个问题. 数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，用于证明与正整数有关的数学命题，应用比较广泛，并且某些时候是其他方法难以替代的． 数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，令人不得不赞叹它的力量与魅力．
六、布置作业
教材第162页第3，4，5题．