数学苏教版 (2019)4.4 数学归纳法*课文课件ppt

这是一份数学苏教版 (2019)4.4 数学归纳法*课文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，归纳猜想证明，整除问题，内容索引，则当n＝k＋1时，当n＝k＋1时，课堂小结，基础巩固等内容，欢迎下载使用。

1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题.
一、用数学归纳法证明不等式
例1　用数学归纳法证明：
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
反思感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.
∴不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立.
例2　在数列{an}中，a1＝1，a2＝ ，且an＋1＝ (n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明.
下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n＝1,2时易知猜想正确.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，
∴当n＝k＋1时猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确.
反思感悟　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.
跟踪训练2　已知数列计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
猜想成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，
所以当n＝k＋1时猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立.
例3　证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.故f(k＋1)也能被64整除.综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
反思感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
跟踪训练3　用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
证明　(1)当n＝1时，xn＋yn＝x＋y显然能被x＋y整除.(2)假设当n＝k(k∈N*且k为奇数)时命题成立，即xk＋yk能被x＋y整除，当n＝k＋2时，xk＋2＋yk＋2＝x2(xk＋yk)＋yk＋2－x2yk＝x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y).又根据假设xk＋yk能被x＋y整除，∴x2(xk＋yk)能被x＋y整除.又(x＋y)(x－y)·yk能被x＋y整除，∴x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)能被x＋y整除，∴当n＝k＋2时命题成立.由(1)(2)知，命题成立.
1.知识清单：(1)利用数学归纳法证明不等式.(2)归纳－猜想－证明.(3)利用数学归纳法证明整除问题.2.方法归纳：数学归纳法.3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化.
即5k－2k能被3整除，则当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4
解析　由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.
2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有A.2n>2n＋1 B.2n＋1>2n＋1C.2n＋2>2n＋5 D.2n＋3>2n＋7
解析　由8>7,16>9,32>11可知第一项为8>7⇒21＋2>2×1＋5，第二项为16>9⇒22＋2>2×2＋5，第三项为32>11⇒23＋2>2×3＋5，以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3.用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1 能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被9整除.A.3×7k＋6 B.3×7k＋1＋6C.3×7k－3 D.3×7k＋1－3
解析　假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，
∵(3k＋1)·7k－1能被9整除.要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除.
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为
5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是A.若f(5)≥6成立，则f(6)≥7成立B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
解析　若f(5)≥6成立，由题意知f(6)≥7成立，故A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.所以选AD.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
①当n＝1时，结论成立；
∴当n＝k＋1时结论成立.
证明　(1)当n＝2时，
不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.
11.在用数学归纳法证明f(n)＝ <1(n∈N*，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N*，k≥3)，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于
12.已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ ，n∈N*，则下列结论成立的是A.a2 019即a1所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1所以 ，即a2k＋1A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立B.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是C.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k项
解析　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；
所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C不正确.
14.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开A.(k＋3)3 B.(k＋2)3C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.
解析　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立.(2)假设n＝k时，f(k) 能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；
当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
∵3k－1－1是2的倍数，
∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
16.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论.
解　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立.当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.(2)假设当n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.