数学选择性必修第一册第4章 数列4.4 数学归纳法*教课课件ppt

这是一份数学选择性必修第一册第4章 数列4.4 数学归纳法*教课课件ppt，共56页。PPT课件主要包含了4数学归纳法，第4章数列，答案略，小孩子的“发现”，习题44，感受·理解，答案证明略，思考·运用，探究·拓展，探究与阅读等内容，欢迎下载使用。

我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列 {an} 的通项公式an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式an＝a1qn－1.这些命题都与正整数有关，正整数有无限多个，我们无法对所有的正整数逐一验证，那么，
● 对于一个与正整数有关的命题，我们怎样证明这个命题对所有的正整数都成立呢?
有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌 (每块骨牌都竖起)，假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做两件事就行了，第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌.
一般地，证明一个与正整数 n 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1) 证明当 n＝n0 (n0∈N*) 时命题成立；(2) 假设当 n＝k (k≥n0，k∈N*) 时命题成立；证明当 n＝k＋1 时命题也成立.根据(1)(2)就可以断定命题对于从 n0 开始的所有正整数都成立.上述证明方法叫作数学归纳法(mathematical inductin).数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法.
用数学归纳法证明：若等差数列 {an} 中，a1 为首项，d 为公差，则通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ①
证明 (1) 当 n＝1 时，等式左边＝a1，等式右边＝a1＋0×d＝a1，等式①成立.
(2) 假设当 n＝k 时等式①成立，即ak＝a1＋(k－1)d，那么，当 n＝k＋1 时，有ak＋1＝ak＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d.这就是说，当 n＝k＋1 时等式①也成立.根据(1)和(2)可知，对任何 n∈N*，等式①都成立.
在上面的证明中，步骤(1)确认了当 n＝1 时等式成立，进而再根据步骤(2)，当 n＝1＋1＝2 时等式也成立. 再由于当 n＝2 时等式成立，根据步骤(2)，当 n＝2＋1＝3 时等式也成立.这样递推下去，就知道当 n＝4，5，6，··· 时等式都成立，从而保证了命题对任何 n∈N* 都成立. 由此可见，数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤是缺一不可的.
用数学归纳法证明：当 n∈N* 时，1＋3＋5＋···＋ (2n－1)＝n2.
证明 (1)当 n＝1 时，等式左边－1，等式右边－1，等式成立.(2) 假设当 n＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋···＋ (2k－1)＝k2，那么，当 n＝k＋1 时，有 1＋3＋5＋···＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1] ＝k2＋[2(k＋1)－1＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当 n＝k＋1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何 n∈N*，等式都成立.
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何 n∈N*，等式都成立.
在用数学归纳法解题时，为什么步骤(1)和步骤(2)两者缺一不可?
分析下列各题(1~2)的证明过程，找出其中的错误：
解：本题的错误在于缺少用数学归纳法证明的第一步，第一步是整个证明的基础，缺了第一步，后面的证明就会出现失误. 实际上当 n－1 时，等式不成立.
解：第二步证明过程有错，对于自然数 k，当 k≥3 时，k2≥2k＋1 才成立.
数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛. 一般说来与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前 n 项的和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明.
设 n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1. (1) 当 n＝1，2，3，4 时，计算 f(n)的值.(2) 你对 f(n) 的值有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.
解 (1)当 n＝1 时，f(1)＝51＋2×31－1＋1 ＝8＝8×1；当 n＝2 时，f(2)＝52＋2×32－1＋1＝32＝8×4；当 n＝3 时，f(3)＝53＋2×33－1＋1＝144＝8×18；当 n＝4 时，f(4)＝54＋2×34－1＝680＝8×85.
(2) 猜想：当 n∈N* 时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1 能被8整除.①当 n＝1 时，有 f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8.能被 8 整除，命题成立.② 假设当 n＝k 时命题成立，即 f(k) 能被8整除，那么，当 n＝k＋1 时，有f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1 ＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1) ＝ f(k)＋4(5k＋3k－1).
这里，5k 和 3k－1 均为奇数，它们的和 (5k＋3k－1) 必为偶数，从而 4(5k＋3k－1) 能被 8 整除，又依归纳假设，f(k) 能被 8 整除，所以 f(k ＋1) 能被 8 整除. 这就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立.根据①和②可知，对任何 n∈N*，命题总成立.
在平面上画”条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点. 问：这 n 条直线将平面分成多少个部分?
解 记 n 条直线把平面分成 rn 个部分，我们通过 n＝1，2，3，4，5，画出图形观察 rn 的情况 (图4-4-1).
先通过有关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：
1. 求 －1＋3－5＋ ···＋(－1)n(2n－1) 的和.
答案：猜想：Sn＝(－1)nn.证明略.
2. n3＋5n (n∈N*) 能被哪些自然数整除?
答案：猜想：n3＋5n (n∈N*) 能被 1，2，3，6 整除.证明略.
3. 求凸 n 边形的对角线的条数 f(n) .
我国著名数学家华罗庚曾经这样叙述小孩子“发现”数学归纳法的过程. 他说：小孩子识数，先学会数1个、2个、3个；过些时候,能够数到 10了；又过些时候，会数到20，30，···，100了，但后来，却决不是这样一段一段地增长，而是飞跃前进.到了某一个时候，他领悟了，他会说：“我什么数都会数了.”这一飞跃，竟从有限跃到了无限! 怎样会的? 首先，他知道从头数；其次，他知道一个一个按次序地数，而且不愁数了一个以后，下一个不会数，也就是他领悟了下一个数的表达方式可以由上一个数来决定.于是，他也就会数任何一个数了.
华罗庚 (1910—1985)，江苏金坛人，我国著名数学家. 在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面有深入的研究.
华罗庚教授高度评价了小孩的发现，他说：设想一下，如果这个飞跃现象不出现,那么人们一辈子就只能学数数了，而且人生有限，数目无穷，就是学了一辈子,也决不会学尽呢!解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法.
你能理解他的话吗?很可能你小时候也有过似曾相识的经历也曾发现过数学归纳法.可是，你当时并没有意识到自己发现了数学,但是你今天应该能理解它.
用数学归纳法证明下列各题 (1~7)：
1. 证明：(1－x)(1＋x＋x2＋···＋xn－1) ＝1－xn .
2. 证明：13＋23＋33＋···＋n3＝ (1＋2＋3＋···＋n)2.
3. 证明：3 个连续自然数的立方和能被 9 整除.
4. 设 x＞0，n∈N*，且 n≥2，求证：(1＋x)n＞1＋nx.
6. 设 n∈N*，求证：f(n)＝32n＋2－8n－9 是 64 的倍数.
9. 将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，···，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测 S1＋S3＋S5＋···＋S2n－1 的结果，并用数学归纳法证明.
答案：记 Mn＝S1＋S3＋S5＋···＋S2n－1，猜想：Mn＝n4 (n∈N*).证明略.
若数列 {an} 满足：a1＝1，a2＝5，对任意的 n∈N*，都有an＋2＝4an＋1－4an，求 an 的表达式.
请仿照上面的解法，思考：已知数列 {an} 满足：a1＝1，a2＝l，且对任意的 n∈N*，都有 an＋2＝an＋1＋an，求 an 的表达式.
斐波那契 (L. Fibnacci，约1170—1250)，生于意大利比萨. 在 1202 年写成《计算之书》一书，该书是欧洲大陆风行好几个世纪的数学教科书，也是一部影响很大的数学专著.全书共 15 章，其中第 12 章提出了兔子问题.
先看一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对?我们用“◎”表示一对大兔，用“○”表示一对小兔，假设第一对小兔的出生日是某个月初，则逐月统计得每月初的兔子对数：
记第n个月的兔子对数为 Fn，则F1＝1，F2＝1，F3＝2，F4＝3，F5＝5，F6＝8，···.考察数列 {Fn} 的规律，不难发现，从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即Fn＋2＝Fn＋1＋Fn (n∈N*).
这样，我们就可以依次写出一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，···.由此可知，一对兔子一年可繁殖成 233 (＝F13) 对.上面的数列是由意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中提出的，为了纪念他，人们就把这种数列称为斐波那契数列.
由一对兔子繁殖问题而衍生出来的斐波那契数列是数学中的一个有趣问题，许多问题也都与之有关，如：
(1) 树木的生长模式，某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，按照这个规律，到第6年树木有多少枝干 (图1)?
(2) 观察蜜蜂爬过六角形蜂房所取的不同路线(图2). 假定该蜜蜂总是向相邻的蜂房移动并且总是向右移动，那么，蜜蜂到蜂房 0 有一条路，到蜂房 1 有两条路，到蜂房 2 有三条路，到蜂房 3 有五条路 ······
等角螺线在自然界中也随处可见，如蜘蛛网、向日葵的种子排列形式(另外，向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反的螺旋方向生长的花瓣数，几乎总是斐波那契数列中两个相邻的数)、水流的漩涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等.
等角螺线因它的性质而得名，因为在等角螺线中，自某一个定点画出的每一条射线与等角螺线相交成等角。