高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习

8.6.1  直线与直线垂直  随堂同步练习

一、单选题

1．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（     ）

A． B． C． D．

2．在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ）

A．5条 B．6条 C．8条 D．10条

3．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（     ）

A． B． C． D．

4．在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

5．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将沿DE，EF，DF折成三棱锥，则HG与IJ所成角的大小为（     ）

A． B． C． D．

6．已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（     ）

A．3条 B．2条 C．1条 D．0条

7．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（   ）

A． B． C． D．

9．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：

①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行；

③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面.

其中正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

10．已知直线平面，直线，则（    ）

A． B．

C．异面 D．相交而不垂直

11．如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论：

①；②；③；④.正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

12．已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.

三、解答题

13．

空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角.

14．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.

15．如图，已知正方体.

（1）求与所成角的大小；

（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.

16．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求异面直线与所成角的大小.

17．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题：

（1）求三棱锥的体积.

（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

18．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角.

答案解析

1．C

【详解】

如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.

因为，所以，

故选：

2．C

【详解】由图可知和均是等边三角形，所以，，，与成角.根据平行关系，可知，，，也与成角，故满足题意的面对角线共有8条，故选：C.

3．A

【详解】

解：取的中点，连接，.

因为是的中点，所以，，

，

且，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角在中，，

故选：.

4．D

【详解】

解：连接，因为，所以与所成的角就是与所成的角，

即.当点从向运动时，从增大到，但当点与重合时，，与与为异面直线矛盾，所以异面直线与所成的角的取值范围是.

故选：

5．B

【详解】

解：如图所示，在三棱锥中，

因为分别为的中点，所以，故与所成的角与与所成的角相等显然与所成的角的大小为，所以与所成角的大小为，故选：.

6．B

【详解】

解：作，，与相交于点，如图所示，则，，则的平分线与直线，所成的角均为，的平分线与直线，所成的角均为.因为，所以与直线所成的角均为的直线有且只有条（直线），

故选：.

7．C

【详解】

由题意，作正方体，如下图所示：

连接，，

∴异面直线与即所成的角为.

由题可得为等边三角形，.

∴异面直线与所成的角为60°.

故选：C.

8．B

【详解】

在直三棱柱中，侧棱平面，

，，点，分别，的中点，

∴，，

∴是异面直线与所成的角（或所成角的补角），

连结，则，

∴，

∴异面直线与所成的角为．

故选B．

9．C

【详解】

画出原正方体如图所示，

连接，，由图可知①②错误；

，所以为等边三角形，

所以③与所在直线成60°角是正确的；

显然④与所在直线异面是正确的.

综上，③④正确.

故选：C

10．A

【详解】

由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，

因此

故选:A

11．C

【详解】

∵是圆的直径，∴，又面圆，故，且，∴面，所以，又，且，∴面，故，，故①③正确,

又，且,所以面，从而，故②正确，

若，则可证面，又面，则面∥面，与面面矛盾，所以不正确，故选C.

12．

【详解】

解：设四面体的棱长为，直线交于取的中点，连接，.由题意知为的中点，所以，

所以∠AEF为异面直线与所成的角.由题意知，，则在中，

故答案为：

13．

【详解】

设G为AC的中点,、F分别是AB、CD中点
且
且
为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)
,
中,
,
即异面直线AD、BC所成的角为

14．

【详解】

连接.

由题意得四棱柱中，，，

∴四边形是平行四边形，

，

（或其补角）为和所成的角.

∵异面直线和所成的角为，

.

∵四棱柱中，，

是等腰直角三角形，.

∵底面四边形是菱形且，，，，.

15．

【详解】

解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，

从而与所成的角为与所成的角，

由，可知.

故与所成的角为.

（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，

因为为的中位线，

所以.

又，

所以，

所以.

16．

【详解】

解：如图，取的中点，连接，.

∵且，∴四边形为平行四边形，∴，

∴为异面直线与所成的角.

在中，，∴.

在中，.

又，∴在中，，∴，

∴，

∴，即异面直线与所成的角为.

17．

【详解】

解：（1）由题意，得，解得.

由，，得，，，

∴，

∴三棱锥的体积.

（2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.

证明如下：

∵，分别为，的中点，∴，

∴就是异面直线与所成的角.

∵，，，∴.

又，∴，

∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.

18．

【详解】

是圆的直径，.

∵点是弧的中点，.

在中，分别为的中点，，

与所成的角为.

故答案为：