2021学年第三章 勾股定理综合与测试课后复习题

这是一份2021学年第三章 勾股定理综合与测试课后复习题，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第3章勾股定理--章节巩固练习（共28题，共120分） 一、选择题（共10题，共30分）（3分）如图，已知平行四边形 中，，，则下列运算不正确的是  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，直角三角形 中，两条直角边 ，，将 绕着 中点 旋转一定角度，得到 ，点 正好落在 边上， 和 交于点 ，则 的长为  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，画线段 的垂直平分线交 于点 ，在这条垂直平分线上截取 ，以 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，则线段 与 的比是  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，两个较大正方形的面积分别为 ，，则字母 所代表的正方形的边长为  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，在 中，， 于 ．已知 ， 的周长为 ，则 的长为  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，矩形 中，，，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为  A．  B． 或  C． 或  D．  （3分）如图，正方形 的边长为 ， 在正方形外，，过 作 于 ，直线 ， 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则下列结论正确的是 ① ；② ；③ ；④若 ，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 （3分）如图，在平行四边形 中，用直尺和圆规作 的平分线 交 于点 ．若 ，，则 的长为  A．  B．  C．  D．  （3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图①所示）．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，，，若 ，则 的值是  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，在 中，，，点 ， 在边 上，且 ．将 沿 翻折，点 的对应点是 ，连接 ，若 ，，则 的长为  A．  B．  C．  D．  二、填空题（共10题，共20分）（2分）如图，在 中，，，以 为直径的半圆交 于点 ， 是 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为    ． （2分）如图， 为 的直径，弦 于点 ，已知 ，，则 的半径为    ． （2分）如图，在矩形 中，，对角线 ， 相交于点 ， 垂直平分 于点 ，则 的长为    ． （2分）如图，在 中，，， 是射线 上的一个动点，，则当 为直角三角形时， 的长为    ． （2分）如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形 的边长为 ， 的边长为 ，则正方形 的面积为    ． （2分）如图，在 中，，，将 绕点 逆时针旋转 得到 （ 和 ， 和 分别是对应顶点），若 ，则 的周长为    ． （2分）如图，等腰直角 中，，， 为 中点，， 为 上一个动点，当 点运动时， 的最小值为    ． （2分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变，， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为 和 ．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为    ． （2分）如图 ，将 放在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ，， 均落在格点上．（Ⅰ）线段 的长为    ；（Ⅱ）点 是线段 上的动点．当 最短时，请你在图 所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）    ． （2分）已知直角三角形的两边 ， 的长满足 ，则第三边的长为    ． 三、解答题（共8题，共70分）（6分）如图，，，，，，求 的长． （6分）如图， 中，，，，．现在要将此直角三角形扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长直角边 请在图①，图 ②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在横线上直接写出所画等腰三角形的面积（写出三种即可）． （8分）已知点 是正方形 内一点，连接 ，．(1)  如图 ，连接 ，过点 作 于点 ，若 ，，四边形 的面积为 ．①证明：；②线段 的长．(2)  如图 ，若 ，，，求线段 ， 的长． （8分）已知抛物线的顶点是 （， 为常数），并经过点 ，点 为一定点．(1)  求含有常数 的抛物线的解析式；(2)  设点 是抛物线上任意一点，过 作 轴．垂足是 ，求证：；(3)  设过原点 的直线 与抛物线在笫一象限相交于 ， 两点，若 且 ．求 的值． （8分）解答下列问题．(1)  初步思考：如图（）所示，在 中，已知 ，， 为 上一点且 ，试证明 ．(2)  问题提出：如图（）所示，已知正方形 的边长为 ，圆 的半径为 ，点 是圆 上的一个动点，求 的最小值．(3)  推广运用：如图（）所示，已知菱形 的边长为 ，，圆 的半径为 ，点 是圆 上的一个动点，求 的最大值． （10分）如图，在四边形 中，，， 是 边的垂直平分线，连接 ．(1)  求证：；(2)  若 ，，求 的长． （12分）已知， 中，，， 为 的中点，若 在直线 上任意一点，，交直线 于 点， 为 的中点，延长 与 交于点 ．(1)  若 在边 上．①试说明 ；②试说明 ；(2)  若 ，，求边 的长． （12分）如图，用边长为 的正方形可以折叠出面积为 的正方形．进一步探究发现：这种折叠方法还能得到无理数 的几何意义： 是表示边长为 ， 的直角三角形的最长边，定义：像这样，用构造直角三角形表示无理数的方法叫做“长边法”．学习了实数后，我们知道实数和数轴上的点是——对应的关系．于是，我们在数轴上就找到了表示 的点的位置．(1)  用“长边法”在下面边长为 的正方形中找出表示无理数的线段长度是    ；并在数轴上找到表示它的点的位置．(2)  图中折叠后的最小的正方形面积为    ．(3)  请你用“长边法”在下面边长为 的正方形中，设计表示， 的线段的图形．(4)  请你在数轴上找到 的位置并用点 表示．
答案一、选择题（共10题，共30分）1.  【答案】A【解析】根据向量加法的平行四边形法则，，故选项A错误，选项B正确；根据向量的加法法则，， ，所以 ，故选项C正确；因为零向量与任意非零向量的和仍等于这个非零向量，所以 ，故D选项正确．【知识点】平面向量的加法、勾股定理 2.  【答案】A【解析】如图，连接 ， ，， ，  点 是 中点， ，  将 绕着 中点 旋转一定角度，得到 ， ，，，， ， ， ， ， ， ，， ，且 ， ，， ， ， ．【知识点】勾股定理 3.  【答案】D【解析】连接 ，设 ，则 ，，故 ，  线段 与 的比是 ．故选D．【知识点】勾股定理 4.  【答案】C【解析】由勾股定理得，正方形 的面积 ，  字母 所代表的正方形的边长为 ，故选：C．【知识点】勾股定理 5.  【答案】D【解析】 ， ，设 ，则 ，  在 中，， ， ， ，， ，， ，，或 ，， ， ．【知识点】勾股定理 6.  【答案】B【知识点】矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质 7.  【答案】C【解析】① ， ．  ①正确．② ，，  是 中垂线． ． ． ． ， ． ．即 ． ，， ． ． ， ． ． ，  ②正确．③在 上截取 ，则 ． ．  是等腰直角三角形． ． ， ．  ③正确．④过 作 于 ，  为等腰直角三角形．在 中，，． ． ．由③可知，，，在 中，， ． ． ． ． ．  ④错误．【知识点】等腰三角形“三线合一”、边边边、勾股逆定理 8.  【答案】C【解析】连接 ， 与 交于点 ，如图， ， 平分 ， ，，  四边形 为平行四边形， ， ， ， ，而 ， ，在 中，， ．【知识点】平行四边形及其性质、角平分线的性质、勾股定理 9.  【答案】C【解析】 八个直角三角形全等，四边形 ，， 是正方形， ，， ，，， ．【知识点】勾股定理 10.  【答案】B【解析】如图，作 于 ． ，， ，， ， ，， ， ，， ，， ，，在 中，， ．【知识点】勾股定理、三角形的内角和、全等三角形的性质与判定 二、填空题（共10题，共20分）11.  【答案】 【解析】取 的中点 ，连接 ，交半圆于点 ，在半圆上取点 ，连接 ，，易知 ，  当 位于 处时， 取得最小值， ，， ．故 的最小值为 ．【知识点】勾股定理 12.  【答案】 【解析】连接 ，  为 的直径，， ，设 的半径为 ，则 ，，在 中，， ，解得：，  的半径为 ，故答案为 ．【知识点】垂径定理的应用、勾股定理 13.  【答案】 【解析】 四边形 是矩形， ，，， ，  垂直平分 ， ， ， ， ．【知识点】勾股定理、矩形的性质 14.  【答案】 或 或 【解析】当 时（如图 ）， ， ， ， ，  为等边三角形， ， ；当 时（如图 ）， ， ， ，在 中，；如图 ， ，， ， ，  为等边三角形， ．综上所述， 的长为 或 或 ．【知识点】勾股定理、等边三角形的判定 15.  【答案】  【解析】如图：  根据正方形的性质得：，， ，， ，在 和 中，   ， ， ，  在 中，由勾股定理得：，  正方形 的面积为 ．【知识点】勾股定理 16.  【答案】【解析】 ,又 ， , ， . ， .  .【知识点】勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半 17.  【答案】 【解析】过 作 于 ，并延长 到 使 ，连接 交 于点 ，   ，，   垂直平分 ，   ，   ， 关于 对称，   ，   ，   ，， 共线时， 最小，最小值即 长，过 作 于点 ，设 ，   是 中点，   ，在 中，，   ，解得 ，   ，，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   是等腰直角三角形，   ，   ，在 中， ，即 最小值为 ．【知识点】勾股定理、垂直平分线的判定、等腰直角三角形 18.  【答案】 【解析】如图，当 ，， 三点共线，距离最小， ， 为 的中点， ，， ，故答案为：．【知识点】勾股定理 19.  【答案】 ；画法：取格点 并连接 交网格于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求．【知识点】勾股定理 20.  【答案】 或 【解析】因为 ，，所以 ，，即 ，，在直角三角形中，（）边长为 的边是斜边，则第三边的长为 ；（）边长为 的边是直角边，则第三边即斜边的长为 ．【知识点】勾股定理 三、解答题（共8题，共70分）21.  【答案】过点 向上作 ，，连接 ，，则 ，易证 ，， ．【知识点】勾股定理 22.  【答案】 ；；  【解析】如图①以 为底，则 ；如图②以 为底，设 ，则 ，在 中，，解得：， ， ；如图③以 为底，则 ．【知识点】勾股定理、等腰三角形的概念 23.  【答案】(1)  如图 ，① 是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ．② ， ，设 ，  四边形 的面积为 ， ，即 ，解得：，（舍）， ，， ． (2)  如图 ，过 作 于 ，连接 ，则 ， ， ，  是等腰直角三角形， ， ，即：， ，即 ，  是等腰直角三角形，， ， ， ，， ． 【知识点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、角角边、勾股定理 24.  【答案】(1)  设抛物线的解析式为 ，  经过点 ，， ．则抛物线的解析式为 ．(2)  连接 ，设抛物线上一点 ，过 作 轴， 轴，在 中，由勾股定理得 ， ， ． ． ．(3)  过 作 ，，由（2）的结论：，， ， ． ．  是 的中点．  是 的中点，连接 ， ，过 作 ， ， ，． ． ． ， ． ，． ． ． ． ， ．【知识点】二次函数的解析式、勾股定理 25.  【答案】(1)  如图（）所示． ，，， ，， ， ．又 ， ， ， ．(2)  如图（）所示，在 上取一点 ，使得 ，连接 ． ，， ，， ， ， ， ， ，  当 ，， 共线时， 的值最小，最小值为 ．(3)  同（）中证法，如图（）所示．取 ，，当点 在 的延长线上时， 取最大值，最大值为 的长 ．【知识点】两边成比例且夹角相等、两角分别相等、对应边成比例、勾股定理 26.  【答案】(1)  因为 是 边的垂直平分线，所以 ，，因为 ，所以 ，又因为 ，，所以 ．所以 ．(2)  过点 作 于点 ，可得，，设 ，则 ，在 中，，即 ，解之，，（不合题意，舍），即 ．所以 ．【知识点】垂直平分线的性质、边边边、等腰直角三角形、勾股定理 27.  【答案】(1)  ①连接 ，如图 所示： ，， 为 的中点， ，，，， ， ， ，在 和 中，   ， ．②连接 ，如图 所示： ， 为 的中点， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ．(2)  分两种情况：①当 在线段 上时，， ，由（）①知：， ，在 中，由勾股定理得：， ；②当 在线段 延长线上时，如图 所示： ，综上所述，． 【知识点】等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形 28.  【答案】(1)   ；(2)   (3)  (4)  【解析】(1)  图中无理线段长为 ．(2)  图中折叠后的最小的正方形面积是 ．(3)  正方形 的边长为 ， 的长即表示 ．【知识点】勾股定理、在数轴上表示实数