初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试教案及反思

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是、，斜边为，那么．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

3. 勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即

。

4. 勾股数：

满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一  勾股定理

【例1】         下列说法正确的是（   ）

A. 若是的三边，则

B. 若是的三边，则

C. 若 是的三边，，则

D. 若 是的三边，，则

【例2】         一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______．

【练一练】在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

【例3】         在中， ，

（1）如果，  则_______；

（2）如果，  则_______；

（3）如果， 则_______；

（4）如果，则_______。

【例4】         等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

【例5】         已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为______________．

【例6】         如图，ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于 __________．

【例7】         RtABC中，斜边BC＝2，则的值为___________．

【例8】         已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是        ．

【例9】         已知斜边的长为，两直角边的差为，求三角形的周长及斜边上的高

【例10】如图，已知的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.

【例11】在，，若，则           .

【例12】在三角形中，已知边上的高，求边的长

【例13】已知中，边上的高为12，求的面积.

【例14】中，，，．若，如图1，根据勾股定理，则．若不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

二 勾股的实际应用

1、简单应用

1.在平静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？

2.如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为         厘米．

3.  小贝想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是     . 

4.  有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

5.  如图所示，一架5米长的消防梯子斜靠在一竖直的墙AC上，梯足（点B）离墙底端（C点）的距离为3米，如果梯足内移1.6米至点B1处，则梯子顶端沿墙垂直上移__________米.
 

2、勾股定理与最短路径、图形面积

1.  如图一个圆柱，底圆半径1cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行       cm
（圆周率取3）
 

2.  如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形D的面积是          cm2．
 

3.  如图，Rt△ABC的面积为，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为          .
 

3：勾股定理与折叠问题（利用折叠性质：对应角相等、对应边相等。建立方程思想）

1.  已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为              
 

2. 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
 

3. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E，F，连接CE，则CE的长为多少？
 

4. 折叠三角形：AC= 6cm，BC= 8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

5.  如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是______．

 三、勾股定理逆定理

1.三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8的三角形是什么形状？

2. 若△ABC的三边a，b，c满足条件，试判定△ABC的形状.

3. 如图，A、B两个村的在河的CD的同侧，A,B两村到河的距离分别为AC=3千米，BD=5千米，C,D间的距离为6千米，现在在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水，铺设水管的工程费为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使得铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用。
 

4.  如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
 

5.  如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
 

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分

1. 以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为

A. 22 B. 32 C. 62 D. 82

3. 设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知，则

A. 1 B. 5 C. 10 D. 25

4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为

A .       B. 4      C.      D.

5. 如图，在中，，则BC边上的高AD为

1. 8 B. 9 C.  D. 10

6、一个直角三角形的斜边长为2，一条直角边长为，则另一条直角边长是

A. 1 B. 2 C.  D. 3

7、下列几组数：；；；是大于1的整数，其中是勾股数的有

A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组

8、加一次暴风雨袭击过后，人们发现一棵9m高的大树被从离地面4m高的地方折断，则树顶与地面的接触点距树根可能是

A. 1m B. 9m C. 3m D. 13m

9、在中，若，则

A.  B.
C.  D.

10、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是

1.    B.       C.  D.

二、解答题

11、如图，在中，边上的中线求AC的长．

12、池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这颗荷花的茎长OA．

 

13、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
试问：城市是否会受到台风影响？请说明理由．
若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
该城市受到台风影响的最大风力为几级？





14、小智和小慧想知道学校旗杆AB的高度，他们发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多了1米图，即米，当他们往外把绳子拉直，发现绳子下端刚好接触地面时，触点D离旗杆下端B的距离为5米图，于是，小智和小慧很快算出了旗杆的高度，你能推算出旗杆的高度吗？请写出过程．