数学八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试练习题

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知等腰三角形的一条腰长是，底边长是，则它底边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，以为直径的圆恰好过点，，，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，平分，若，，则点到的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，长为半径画弧，与轴交于点，则点的坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

5. 下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 已知一个三角形的三边长分别为、、，且它们满足，则该三角形的形状为(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

7. 在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

9. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示：某商场有一段楼梯，高，斜边是米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走米路．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，，，，则阴影部分的面积是______．

14. 如图，在中，，点在上．，，则的长为______．

15. 已知一个三角形的三边长分别为，，，那么当______时，此三角形是直角三角形．
16. 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，，于，点在边上．
    求证：；
    若，，且的面积等于，求的长．

18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上．
    在网格中画出向下平移个单位得到的；
    在网格中画出关于直线对称的；
    在直线上画一点，使得的周长最小．

19. 如图，在中，，垂直于点，，．
    求斜边的长；
    求斜边上的高的长．

20. 如图，在四边形中，，，，，且，连接，试判断的形状．

21. 如图在中，，，，点是上一点，且．
    试判断的形状，并说明理由；
    求的长．

22. 如图，在四边形中，，，，， 
    
    求：的长      
    四边形的面积．
23. 如图，在四边形中，，，，．
    求的度数；
    求四边形的面积．

24. 为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方处装着一个红外线激光测温仪离地米如图所示，当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米，测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离的值．

25. 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理，关键是作出辅助线，构造直角三角形．过点作，根据，求出，再根据勾股定理得出即可．
【解答】
解：过点作，

，
，
，
，
它底边上的高为．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出的长，进而可得出以为直径的圆的面积，再根据即可得出结论．
【解答】
解：中，，，
，即，
以为直径的圆的半径为，
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：作于，

平分，，，
，
，，
，
点到的距离为，
故选：．
作于，根据角平分线的性质可得，从而得出答案．
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入得，
点坐标为，，
把代入得，
点坐标为，，
在中，由勾股定理得，
，
或，
点坐标为或，
故选：．
把代入直线解析式求出点坐标，把代入直线解析式求出点坐标，通过勾股定理求出长度，进而求解．
本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握勾股定理．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】
解：不是，因为
不是，因为不是正整数
不是，因为
是，因为，且、、是正整数．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
因为、、为一个三角形的三边长，化简，可得，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．
【解答】
解：，
，
该三角形为直角三角形．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：根据表格中数据可得：，并且，
则，
当时，，
解得：，
则，
则．
故选：．
根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值，进而可得答案．
此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故B不符合题意；
C、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设米，
米，米，
米，米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千的长度是米．
故选：．
设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，
，
个直角三角形是全等的，
，
小正方形的边长，
阴影部分的面积，
故选：．
在中，根据勾股定理求出的长，根据个直角三角形是全等的，得到，从而得到小正方形的边长，进而求出面积．
本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
先根据勾股定理求出的长，再根据楼梯高为，楼梯的宽即为的长，再把、的长相加即可．
【解答】
解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：在中，
米，米，
米，
米，
他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．
故选：．
根据勾股定理求出即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，即，
故阴影部分的面积是．
故答案为：．
根据勾股定理可求的长，再根据圆的面积公式，即可得到阴影部分的面积．
考查了勾股定理和圆的面积计算，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，，
则，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：因为三角形是直角三角形，所以根据勾股定理：
，
解得，故填．
根据勾股定理逆定理，若两小边的平方和等于最长边的平方，则三角形为直角三角形，进行解答．
本题考查勾股定理逆定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

17.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；

解：由得：≌，
，
，
，
又，，且的面积等于，
，
． 

【解析】根据三角形的两个角及其一角的对边对应相等即可证明≌，可以证明；
根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度．
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明≌，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，点即为所求．
 

【解析】依据向下平移个单位，即可得到的；
依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的；
连接，与直线的交点即为所求．
本题主要考查了利用轴对称变换以及平移变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

19.【答案】解：，
．
由题意得：，
． 

【解析】根据勾股定理求解即可；
利用等面积法可以求出．
本题考查了勾股定理和等面积法，解题的关键是利用等面积法求出的长．
 

20.【答案】解：是直角三角形．理由是：
，，，
，
又，，
，
是直角三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理及逆定理的综合应用．
先根据勾股定理求出的平方，在中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．
 

21.【答案】解：是直角三角形，
理由：，，，
，
，
是直角三角形；
在中，，，，
． 

【解析】利用勾股定理逆定理即可求解；
利用勾股定理得出的长即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
；
，，，
，
，
又，


． 

【解析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
根据勾股定理可求的长；
先根据勾股定理的逆定理可求，再根据列式计算即可求解．
 

23.【答案】解：连接，

，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
由题意得：
四边形的面积的面积的面积


，
四边形的面积为． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米，
答：人头顶离测温仪的距离的值为米． 

【解析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

25.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺． 

【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．