2021学年第三章 勾股定理综合与测试教学设计

                         《探寻勾股数》活动课教案

【活动目标】

1. 通过对勾股数深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进行对勾股数计算、证明，会写一些勾股数；

2. 让学生在操作实践中获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的学习方法，验证勾股数；

3. 培养学生勤于实践、勇于发现、乐于创新的学习品质，激发学生初步感受科学思维的价值；

4. 利用类比、分类思想来探索勾股数，体会由特殊到一般再到特殊的思想过程，在解决问题中会运用转化和类比以及分类讨论的数学思想方法.

【教学重点难点】

重点：由简单的勾股数发现其内在的规律，探索一些复杂的勾股数，对发现的勾股数的规律进行计算、验证.

难点：会用分类、类比的思想，从不同角度探索勾股数，并对探索发现加以验证.

【教学活动过程】

  一、创设情境：

      考古学家发现的一块石碑，经潜心研究，是一张数据缺损的数表, 你觉得这块碑文表示什么？

                          图1                          图2

科学家将表格中的部分数据整理出来了，缺失的数据是什么？

    设计意图：考古图片的引入应发学生的兴趣，缺失的数据激发学生探索的热情。

  二、探索过程：

活动一 （探索基础）

问题1. 什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？ （学生活动，尽可能写出较多个）

问题2. 你还能写出更多的勾股数吗？

问题3. 对于这些勾股数你有没有什么发现？怎样探索勾股数呢？

    交流： 同学们所写的一些勾股数之间有没有什么共同的特征？可以用什么方法来进行研究？

设计意图：回顾勾股数，从同学们熟知的勾股数开始研究，让学生感受到探索就是来自于身边，并为接下来的探索做准备。通过观察数据，培养学生大胆尝试分类研究问题的数学思想方法。

活动二（探索尝试）

    设（a,b,c）为一组勾股数，这里a<b<c，对勾股数进行分类讨论、整理如下表，填表：

                    表1                                 表2

     交流：表1、表2中的数据各有什么特征？小组合作交流探讨.  

     问题1. 在表1中， a为奇数，正整数b和c之间的数量关系是_________,b、c与a2之间的关系式是___________.

    根据以上规律，写出勾股数（13，____,_____）.

     问题2. 一般地，当a=2n+1（n为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式.

     问题3. 怎样说明满足所给公式的三个数是勾股数？

     问题4. 在表2中，a为大于4的偶数，正整数b和c之间的数量关系是_______,b、c与a2之间的关系式是___________.

    根据以上规律，写出勾股数（16，____,_____）.

     问题5 一般地，当a=2n（n>1为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式.

     问题6. 怎样说明满足所给公式的三个数是勾股数？

    设计意图：通过分类、观察发现其内在归规律，进而对勾股数进行深入探索，并对公式给出证明，体现新知获得过程要符合科学严谨性。

    交流： 表1和表2的一些数据之间有没有什么联系？你还能找出其他的计算勾股数的公式吗？

    问题7. 说明当（a,b,c）是勾股数时，（ka,kb,kc）也是勾股数，其中k为正整数。

    问题8. 已知 其中，、为正整数，、、是勾股数吗？为什么？

    交流：通过以上这些探究过程，你有什么发现？

    设计意图：由简单的勾股数发现内在规律，了解勾股数的常见几种计算公式，并体会勾股数的计算公式有很多，这些公式都是的特列或者变形，渗透了转化思想.

 活动三（拓展延伸）

      问题1. 现在你能帮考古学家将表格中缺失的数据补齐吗？

      问题2. 你有多少种不同的填法？

     设计意图：运用探索出来的规律，发现有多种填法，并让学生体会到探究的价值.

     问题3. 你认为含“9”的勾股数有多少组？应该怎么去继续探究？ 

     设计意图：发现新的问题、升华思维，寻找新的方法，由前面几组公式的验证，希望学生能体会到勾股数的计算公式最终都是满足，要想解决此问题，只要对公式进行变形利用，“9”是公式中的“a”或“c”也要分类讨论进行研究，若“9”是“c”，则问题好解决；若“9”是“a”，实际上问题可以转化成“”，最后转化成“81”的因数和方程组问题。这一探索再次让学生感受到分类讨论思想和转化的数学思想。（此部分只是让学生有所了解，不是本节课的重点.）

   三、小结与思考

       通过今天的学习你有怎样的收获？

相关知识拓展：

     勾股数的很多有趣的性质：

     1. 勾股数中的额三个数不能全是奇数.

     2. 勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数.

     3. 大于2的任何一个整数都可以作为直角三角形的一条边长.

     4. 如果一组勾股数中两个较大的数组相差1，那么这两个数的和就是第三个数的平方.

     5. 如果两个较大的数相差2，那么这两个数中间所夹的整数是第三个数的一般的平方.

     6. 所有的勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数.

课后尝试与创新：

    问题1. 是否存在这样的这样的4个整数、、、满足？你能进行一番探索吗？试试看.

    问题2. 如图1，已知四边形ABCD是长方形，AC为对角线，则有,即AB、BC、AC满足勾股定理.如图2，

是长方体，图1中的

线段AB、BC、AC分别对应图2中的面

、、.若长方体

的面、、的面积分别用、、表示，则是否有仍然成立？请说明理由.