2021学年第四章 实数综合与测试当堂达标检测题
展开这是一份2021学年第四章 实数综合与测试当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第4章实数--章节巩固练习
一、选择题
- 下列各数：，，，，，（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）中，其中无理数的个数为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
- 下列实数中，无理数是
A． B． C． D．
- 下列说法正确的是
A．无限小数都是无理数
B．无理数都是无限小数
C．不循环小数一定是无理数
D．无理数也分为正无理数、零和负无理数
- 下列实数中， 是无理数．
A． B． C． D．
- 在下列实数中，无理数是
A． B． C． D．
- 如图，某计算器上有三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若一开始输入的数据为 ，那么第 步之后，显示的结果是
A． B． C． D．
- 下列说法中，正确的是
A．任意两个有理数的和必是有理数
B．任意有理数的绝对值必是正有理数
C．任意两个无理数的和必是无理数
D．任意有理数的平方必定大于或等于它本身
- 下列木棍的长度中，最接近 厘米的是
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
- 已知边长为 的正方形面积为 ，则下列关于 的说法中，错误的是
A． 是无理数 B． 是方程 的解
C． 是 的算术平方根 D． 满足不等式组
- 如图，四个实数 ，，， 在数轴上对应的点分别为 ，，，，若 ，则 ，，， 四个实数中，绝对值最大的一个是
A． B． C． D．
二、填空题
- 若 是一个含有根号的无理数，且 ．写出任意一个符合条件的值 ．
- 将 用四舍五入法取近似数，精确到 ，其结果是 ．
- 用四舍五入法将数取近似值：（精确到 ） ；（精确到万位，并用科学记数法表示） ．
- 若实数 ， 满足 ，则 的平方根是 ．
- 实数 ，，，，， 中的无理数是 ．
- 年 月 日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 精确到小数点后第七位的人，他给出 的两个分数形式：（约率）和 （密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ，其中 ，，， 为正整数），则 是 的更为精确的近似值．例如：已知 ，则利用一次“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为：；由于 ，再由 ，可以再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数 现已知 ，则使用两次“调日法”可得到 的近似分数为 ．
- 位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得 分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是 分．
- 用长 ，宽 的邮票 枚不重不漏摆成一个正方形，这个正方形的边长等于 ．
三、解答题
- 试写出两个在 和 之间的无理数．
- 某省有 万人口，若平均每 人为一个家庭，平均每个家庭每周丢弃 个塑料袋，该省一年（以 周计算）将丢弃多少个塑料袋？若每 个塑料袋污染 土地，那么该省一年被塑料袋污染的土地是多少？
- 将下列各数的序号填在相应的括号中：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ．
分数：{ }共 个
无理数：{ }共 个
正实数：{ }共 个
- 教材中的探究：如图 ，把两个边长为 的小正方形沿对角线剪开，所得的 个直角三角形拼成一个面积为 的大正方形，由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1) 图 中 ， 两点表示的数分别为 ， ；
(2) 请你参照上面的方法，把长为 ，宽为 的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．
①在图 中画出裁剪线，并在图 位置画出所拼正方形的示意图．
②在数轴上分别标出表示数 以及 的点，（图中标出必要线段长）
- 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 ，每个顶点叫做格点．
(1) 在图（）中以格点为顶点画一个面积为 的正方形；
(2) 在图（）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 ，，，这个三角形的面积为 ．
- 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，那么 且 ．运用上述知识，解决下列问题：
(1) 如果 ，其中 ， 为有理数，那么 ； ．
(2) 如果 ，其中 ， 为有理数，求 的值．
- 根据平方根的意义解下列方程：
(1) ；
(2) ．
- 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，那么 且 ．
运用上述知识，解决下列问题：
(1) 如果 ，其中 ， 为有理数，那么 ， ．
(2) 如果 ，其中 ， 为有理数，求 的值．
- 根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证：
， 为有理数，
是有理数．
为有理数， 是无理数，
．
．
．
(1) 若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2) 若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3) 已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，， 为有理数，，，， 满足 ，求 ， 的值．
- 我们把由四舍五入法对非负有理数 精确到个位的值记为 ．如：，，，，
解决下列问题：
(1) 填空：① 若 ，则 的取值范围是 ；
② 若 ，则 的值是 ．
(2) 若 为正整数，试说明： 恒成立．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】无理数有 ，，（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）共 个．
【知识点】无理数
2. 【答案】C
【知识点】无理数
3. 【答案】B
【知识点】无理数
4. 【答案】B
【解析】A． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是无理数，故本选项符合题意；
，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
【知识点】无理数
5. 【答案】A
【解析】A． 是无理数；
B． 是有理数；
C． 是有理数；
D． 是有理数．
【知识点】无理数
6. 【答案】C
【解析】根据题意得 ，，；，，；．
，
第 步之后，显示的结果是 ．
【知识点】计算器-开平方
7. 【答案】A
【解析】A、任意两个有理数的和必是有理数，正确；
B、任意有理数的绝对值必是正有理数，错误，利用 的绝对值等于 ；
C、任意两个无理数的和必是无理数，错误，利用 ；
D、任意有理数的平方必定大于或等于它本身，错误，例如 ．
故选：A．
【知识点】无理数
8. 【答案】D
【解析】 ；；；．
，
与 差的最近．
【知识点】近似数
9. 【答案】D
【知识点】平方根
10. 【答案】A
【解析】，
和 互为相反数， 在线段 的中点处，
绝对值最大的点 表示的数 ．
【知识点】相反数、利用绝对值比较数的大小
二、填空题（共8题）
11. 【答案】 （答案不唯一）
【知识点】平方根的估算、无理数
12. 【答案】
【知识点】近似数
13. 【答案】 ；
【解析】 （精确到 ）；
（精确到万位，并用科学记数法表示）；
故答案为：，．
【知识点】近似数、正指数科学记数法
14. 【答案】
【解析】 和 有意义，则 ，故 ，
则 ，
的平方根是：．
故答案为：．
【知识点】二次根式有意义的条件、平方根
15. 【答案】 ，，
【知识点】无理数
16. 【答案】
【解析】 ，
利用一次“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为：，
且 ，
，
再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数为：．
【知识点】近似数
17. 【答案】
【解析】用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到 的数值范围是：（大于等于 和小于 之间），
个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是 个人的分数．
该运动员的有效总得分在大于或等于 分和小于 之间．
每个裁判给的分数都是整数，
得分总和也是整数，
在 和 之间只有 是整数，
该运动员的有效总得分是 分．
得分为：，
精确到两位小数就是 ．
故答案是：．
【知识点】近似数
18. 【答案】
【解析】设正方形边长为 ．根据题意，得 ，所以 ．
【知识点】平方根
三、解答题（共10题）
19. 【答案】如 ，，（它的位数无限且相邻两个“”之间是依次增大的自然数）， 等．
【知识点】无理数
20. 【答案】一年丢弃的塑料袋可表示为：（个），
该省一年被塑料袋污染的土地是：．
【知识点】正指数科学记数法、近似数
21. 【答案】③⑤，；②④⑧，；③⑤⑦⑧，
【解析】分数：{③⑤}共 个；
无理数：{②④⑧}共 个；
正实数：{③⑤⑦⑧}共 个．
【知识点】无理数、有理数
22. 【答案】
(1) ，；
(2) 如图所示：
表示数 以及 的点如图所示：
【解析】
(1) 由图可得，点 到原点的距离为：，点 在原点左侧，
点 表示的实数为 ，
由图可得，点 到原点的距离为：，点 在原点右侧，
点 表示的实数为 ，
【知识点】无理数、数轴的概念、勾股定理
23. 【答案】
(1) 正方形的面积为 ，
正方形的边长为 ．
如图（），正方形 即为所求．
(2) 如图（）， 即为所求．
【解析】
(2) ．
故答案为 ．
【知识点】勾股定理
24. 【答案】
(1) ；
(2) 将 整理，得 ，
， 为有理数， 为无理数，
且 ，从而 ，即 ．
【知识点】无理数、实数的简单运算
25. 【答案】
(1) 两边都除以 ，得由平方根的意义，得
(2) 移项，得开平方，得
【知识点】平方根
26. 【答案】
(1) ；
(2) ，
可整理为 ，
， 为有理数，
和 均为有理数，
是无理数，
由题意可知 ，，
，，
．
【解析】
(1) ， 为有理数，
和 均为有理数，
是无理数，
由题意可知 且 ，
，．
【知识点】有理数、无理数、简单的代数式求值
27. 【答案】
(1) ；
(2) ，
．
，，， 为有理数，
， 都是有理数．
，．
，．
(3) ，又知 的整数部分为 ，小数部分为 ，
，．
，
，
．
， 为有理数，
解得：
【解析】
(1) ，其中 ， 为有理数，
．
，．
【知识点】实数的简单运算、平方根的估算、无理数、有理数
28. 【答案】
(1) ① ；
② ，，
(2) 设 ，其中 为 的整数部分 ， 为 的小数部分 ，分两种情况：
① 当 时，有 ．
，这时 为 的整数部分， 为 的小数部分，
．
，
．
② 当 时，有 ．
，这时 为 的整数部分， 为 的小数部分，
．
，
．
综上所述：．
【解析】
(1) ，
．
是非负数，
．
而 是整数，
只能取 ，，．
【知识点】近似数
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