苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章  考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示，凸四边形中，，，，，，若点、分别为边，上的动点，则的周长最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

2.直角三角形中，有两边的长分别为和，那么第三边的长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C. ，， D.

6.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为，的顶点，，均在正方形格点上，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 点到直线的距离是

7.有下列说法：
有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
三边长为，，的三角形为直角三角形；
等腰三角形的两条边长为，，则等腰三角形的周长为；
一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.如图，分别以的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是(    )

A.
B. 以，，为三边的三角形是直角三角形
C.
D. 四边形的面积与的面积相等

9.如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点最终荡到最高点处，若，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为(    )
 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11.为预防新冠疫情，某医院入口的正上方处装有红外线激光测温仪如图所示，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温当身高米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时即米，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12.如图，，，，是四根长度均为的小木棒，点、、共线．若，，则线段的长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，，已知中，，，的顶点、分别在射线、上，当点在上运动时，随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点到点的最小距离为          ．
 

14.在中，，若点在边上移动，则的最小值是______．

 

15.如图，在中，，，是边上的中线，，则的面积是          ．
 

16.如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为       

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，四边形中，，于点，且≌求证：．

18.本小题分
定义：如图所示，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
已知，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

19.本小题分

如图，一架米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了处，下滑后，两次梯脚间的距离为米，则梯顶离路灯多少米？

20.本小题分
如图，在中，，，过点作直线的垂线交于点．
求的度数；
若，求的长；
如本题图，过点作的角平分线交于点，点关于直线的对称点为，试探究线段与之间的数量关系，并对结论给予证明．

 

21.本小题分
如图所示，在中，于，，，

求的长；

求证：是直角三角形．

22.本小题分
如图，已知中，，是上一点，且，．
求证：是直角三角形；
求的长．

23.本小题分
如图，一块四边形的空地，，的长为，的长为，的长为，的长为为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？

24.本小题分
如图所示是某工厂长方屋顶的人字架等腰三角形，它的跨度米，中柱为米，中柱，且垂足为的中点，又知厂房长米，为防雨，需在房顶铺满油毡．每卷油毡宽米，长米，如果你是该厂采购，需购买多少卷油毡？

25.本小题分

如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知米，米；现有一辆卡车装满家具后，高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和不同于点和，
连接，，和，如图所示：

，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示所示：

在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在中，由勾股定理得：
．
，
故选：．
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为．
本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，重点掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．

2.【答案】 

【解析】解：当为直角边时，
根据勾股定理得：第三边长，
当为斜边时，
根据勾股定理得：第三边长，
综上，第三边长为或，
故选：．
已知的两条边可以是直角边，也可以一条是直角边，一条是斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解题的关键，注意分类讨论．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理及三角形的面积有关知识，根据中，，可证是的高，然后利用三角形面积公式求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，，即，
解得：负值舍去．
故选B．

4.【答案】 

【解析】解：、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、：：：：，即，三角形不是直角三角形，故本选项正确．
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，即，故选项A正确，不符合题意；
，
，
，
是直角三角形，，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C错误，符合题意；
过点作于点，

则，
解得，
即点到直线的距离是，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到、、的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

7.【答案】 

【解析】解：符合等边三角形的推论；故此选项正确；
因为所以该三角形为直角三角形；故此选项正确；
因为当其两腰均为时，两边之和等于第三边不符合三角形三边关系，故其周长只能为；故此选项正确；
符合全等三角形的判定中的；故此选项正确；
一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形；故此选项错误；
所以正确的有个．
故选：．
根据等腰三角形以及等边三角形的性质分别进行分析，从而确定正确的个数即可．
此题主要考查了学生对等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定等知识点的综合运用能力．

8.【答案】 

【解析】解：设的边，，，其中，
则，，，．
，，为等腰直角三角形，
，，
，
，
．
选项正确；
，，，
，，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
选项正确；
，
，
．
选项错误；
四边形的面积
，
，
四边形的面积与的面积相等．
选项正确．
综上，结论不成立的是：．
故选：．

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用拼接前后的图形全等不变性解答是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
这棵树在折断前的高度为米．
故选：．
根据含有角的直角三角形的性质可以得到的长，然后即可计算出的值，从而可以得到这棵树在折断前的高度．
本题考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】如图，作于，于因为，，所以在与中，，所以米设米，在中，，即，解得则米故选B．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

米，米，米，
米，
在中，由勾股定理得到：
米，
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．

12.【答案】 

【解析】【分析】
过作于，过作于，由等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形判定证得≌，得到，在中，根据勾股定理求出，进而求出．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得≌是解决问题的关键．

【解答】
解：由题意知，，，
过作于，过作于，
则，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，
，，
，
，
，
故选：．

13.【答案】 

【解析】【分析】作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得  ，再利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得  ，则利用三角形三边的关系得到当点、、共线时取等号，从而得到点到点的最小距离．

【详解】作于，连接，如图，

，

  ，

在中，

在中，

当点 、共线时取等号，

的最小值为    ．

故填：．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系能通过三角形的三边关系得出当、、共线时的最短值为是解决此题的关键．

14.【答案】 

【解析】【分析】

此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当垂直于时，的长最小，过作等腰三角形底边上的高，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而利用面积法即可求出此时的长． 
【解答】

解：根据垂线段最短，得到时，最短，
过作，交于点，如图：

，，
为的中点，又，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
又，
．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】如图，延长到，使，连接．

由题意知．

在与中，
≌，
， 
又，，
，
是直角三角形，．
 
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
即，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．

17.【答案】证明  如图，连接．

，，≌，，，，，，，  又，，，，即．

【解析】略

18.【答案】解：是．
理由：，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形．
故点、是线段的勾股分割点．
设，则，
当为最长线段时，依题意，
即，解得；
当为最长线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或． 

【解析】根据勾股定理逆定理即可判断．
设，则，分两种情形当为最长线段时，依题意；当为最长线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题．
本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．

19.【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理，得：
，
根据题意，得：．
又梯子的长度不变，
在中，根据勾股定理，得：．
则．
答：梯顶离路灯米． 

【解析】根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．
此题主要考查了勾股定理的应用，注意梯子的长度不变进而求出是解题关键．

20.【答案】解：，，
，
，
，
；
作于，

，
，
，
，
；
。
理由如下：作于，

，，
，
设，则，，，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
． 

【解析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．
利用三角形内角和定理求出，再由，即可得出答案；
作于，由含角的直角三角形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，从而求出的长；
作于，设，则，，，则，由点关于直线的对称点为，得，可表示出的长，从而得出结论．

21.【答案】解：，
，
；
证明：由上题知，
同理可得，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据勾股定理求出，的长度，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
依据，利用勾股定理可得；
依据勾股定理的逆定理，可得，即可得到是直角三角形．

22.【答案】证明：，，，
，
，
故是直角三角形；
解：设，则，
，
，
，
解得，
故AB． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

23.【答案】解：连接，

在中，，
，
，
，
在中，，，
，
为直角三角形，，
，
元．
答：此块空地全部铺植草坪共需花费元． 

【解析】利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，即可解决问题．
本题考查勾股定理及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，正确作出辅助线，把四边形转化为两个直角三角形是解决问题的关键．

24.【答案】解：，，为的中点，
在中，，，
由勾股定理得
厂房长米，
厂房的面积为
所以，
故需购买卷油毡． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，即可求出厂房房顶的总面积．除以每卷油毡的面积，即为油毡数量．
本题考查勾股定理的应用、解直角三角形、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：车宽米，
卡车能否通过，只要比较距厂门中线米处的高度与车高．
在中，由勾股定理可得：
，
，
卡车能通过此门． 

【解析】根据题意得出的长，进而得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键．