2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积提升练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积提升练习卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。
立体几何表面积与体积提升（共22题） 一、选择题（共8题）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为  A．  B．  C．  D．  如下图，已知正四棱锥 所有棱长都为 ，点 是侧棱 上一动点，过点 垂直于 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记 ，截面下面部分的体积为 ，则函数 的图象大致为 ． A． B． C． D． 已知棱长为 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为  A． B． C． D． 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为  A．  B．  C．  D．  若三棱锥 的所有的顶点都在球 的球面上，，，，，则球 的体积为  A．  B．  C．  D．  在四棱锥 中，，且 为矩形，，，，则四棱锥 的外接球的体积为  A．  B．  C．  D．  如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是  A．  B．  C．  D．  已知正四面体 的外接球体积为 ，则这个四面体的表面积为  A．  B．  C．  D．  二、填空题（共4题）正三棱柱的侧面展开图是边长为 和 的矩形，则该正三棱柱的体积是    ． 若圆锥的侧面积为 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为    ． 《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biēnào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥 是一个“鳖臑”，，，且 ，，则三棱锥 的外接球的表面积为    ． 已知 ，，， 是球 表面上的点，，， , ，则球 的表面积等于     三、解答题（共6题）如图所示，在长方体 中，，，连接 ，．(1)  求证：；(2)  求三棱锥 的体积． 如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，沿 将 折起，使得点 到点 位置，且 ， 为 的中点， 是 上的动点（与点 ， 不重合）．(1)  证明：；(2)  设三棱锥 和四棱锥 的体积分别为 和 ，当 为 中点时，求 的值． 如图所示，在 中，，．若平面 外的点 和线段 上的点 ，满足 ，，求四面体 的体积的最大值． 设 中，，，，画出分别绕 ，， 所在直线旋转一周所得几何体的草图． 如图，四边形 为矩形，，，， 四点共面，且 和 均为等腰直角三角形，．(1)  求证：；(2)  若 ，，，求三棱锥 的体积． 已知正四棱柱 的底面边长为 ， 与底面 所成的角为 ．(1)  求三棱锥 的体积；(2)  求异面直线 与 所成的角的大小． 四、多选题（共4题）已知 的三边长分别是 ，，，则下列说法正确的是  A．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为  B．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  C．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为  D．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  已知正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是  A．正三棱锥的高为  B．正三棱锥的斜高为  C．正三棱锥的体积为  D．正三棱锥的侧面积为  如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，，侧面 为正三角形，且 ，则下列说法正确的是  A．直线 与 是异面直线 B．在棱 上存在点 ，使  C．平面 与平面 的交线平行于平面  D．当 时，四棱锥 的体积为
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】C【解析】根据三视图可知几何体是一个棱长为 的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为 ．【知识点】棱柱的表面积与体积、棱锥的表面积与体积、三视图 2.  【答案】A【解析】（1）当 时，过 点的截面为五边形 (如图 所示)，连接 ，由 与该截面垂直知， ,所以 ，，， ,所以五边形 的面积 ， 所以  ，其图象不可能是一条线段，故排除 ，D．（2）当 时，过 点的截面为三角形，如图 ，设此三角形为 ，则 ，，三棱锥 底面 上的高 ， 所以 ， 所以 ，又显然 在区间 上单调递增，，， 所以函数 在区间 上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B．【知识点】函数的解析式的概念与求法、棱锥的表面积与体积、利用导数研究函数的单调性、棱锥的截面分析 3.  【答案】D【解析】如图，由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过 点的三个面相切且切点分别在线段 ，， 上，设线段 上的切点为 ，，圆柱上底面的圆心为 ，半径即为 ，记为 ，则 ，，由 知，，则圆柱的高为 ， 【知识点】圆柱的表面积与体积 4.  【答案】B【知识点】棱柱的表面积与体积、由三视图还原空间几何体 5.  【答案】D【解析】在 中，，，，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以三棱锥 截取于长方体，如图所示：所以 为球的直径，，所以球 的体积为 ．故选：D．【知识点】组合体、球的表面积与体积 6.  【答案】B【解析】因为 是直角三角形，，所以 外接圆的圆心在 中点处，设为 ，又因为 ，所以矩形 经过球心 ，所以对角线 即为球的直径，设球的半径为 ，则 ，所以 ，所以球的体积为 ．【知识点】组合体、球的表面积与体积 7.  【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如图：可得：，．它的表面积是：．故选A．【知识点】三视图、球的表面积与体积 8.  【答案】B【解析】将正四面体 放在一个正方体内，如图所示，设正方体的棱长为 ，正四面体 的外接球的半径为 ，则 ，解得 ．因为正四面体 的外接球和正方体的外接球是同一个球，所以 ，所以 ，而正四面体 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体 的棱长为 ，因此这个正四面体的表面积为 ．故选B．【知识点】组合体、球的表面积与体积 二、填空题（共4题）9.  【答案】 或 【解析】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 和 的矩形，所以有以下两种情况：① 是下底面的周长， 是三棱柱的高，此时，下底面的边长为 ，面积为 ，所以正三棱柱的体积为 ．② 是下底面的周长， 是三棱柱的高，此时，下底面的边长为 ，面积为 ，所以正三棱柱的体积为 ．故答案为 或 ．【知识点】棱柱的表面积与体积 10.  【答案】  【解析】设圆锥底面半径为 ，母线为 ，所以圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，解得 ，，所以圆锥的高 ，所以圆锥的体积为 ．【知识点】圆锥的表面积与体积 11.  【答案】 【解析】因为三棱锥 是一个“鳖臑”，，，且 ，，所以三棱锥 的外接球的半径：，所以三棱锥 的外接球的表面积为：．【知识点】组合体、球的表面积与体积 12.  【答案】【解析】因为 ，，所以四面体 的外接球的半径 等于以长宽高分别为 ，， 三边长的长方体的外接球的半径，因为 , ，所以 ，所以球 的表面积 ．【知识点】典型空间几何体、球的结构特征、球的表面积与体积 三、解答题（共6题）13.  【答案】(1)  连 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，，，所以 ，所以 ． (2)  因为 ，所以 ．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的性质 14.  【答案】(1)  因为 ，，，，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，，，所以 ，因为 ，所以 ．由 ， 知 ，又 ，，所以 ，又 ，所以 ．(2)  因为 为 中点，所以 ，点 ， 到平面 的距离之比为 ，所以 ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积 15.  【答案】由题意可知，，所以 可以看成是 绕 轴旋转形成的．点 在边 上每选定一个位置，则底面 就为定值，此时，当平面 垂直地面 时，四面体 的体积就取最大值．过点 作 的垂线，则该垂线即为三棱锥 的高，且高等于 中 边上的高线 （如图所示），在 中，，，则 ．设 （），则 ．在 中，由余弦定理可得，，因为 ，所以 ，所以四面体 的体积 ．设 （），则 （）．因为函数 在 上单调递减，所以当 ，即 ，即点 为边 的中点时， 取得最大值，最大值为 ．【知识点】棱锥的表面积与体积 16.  【答案】略【知识点】圆锥的表面积与体积 17.  【答案】(1)  因为四边形 为矩形，所以 ，又 ，，所以 ．因为 和 均为等腰直角三角形，且 ，所以 ，所以 ，又 ，，所以 ，因为 ，，，所以 ．(2)  因为四边形 为矩形，所以 ，又因为 ，，平面 ，所以 ，在等腰 中，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．所以 ．【知识点】棱锥的表面积与体积、平面与平面平行关系的判定 18.  【答案】(1)  因为四棱柱 是正四棱柱，所以底面 为正方形，且 ．即 为 在底面 上的射影，所以 是 与底面 所成的角，即 ．进而得 ，所以 ．即三棱锥 的体积等于 ． (2)  因为 且 ，所以四边形 是平行四边形，因此 ，所以直线 与直线 所成的角就是异面直线 与 所成的角．由 知，，所以异面直线 与 所成的角为 ． 【知识点】棱锥的表面积与体积、异面直线所成的角 四、多选题（共4题）19.  【答案】A；B；D【解析】以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，侧面积为 ，故A正确；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥的组合体，底面半径为 ，故所得旋转体的体积 ，故B正确；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，侧面积为 ，表面积为 ，体积为 ，故C错误，D 正确．【知识点】圆锥的表面积与体积 20.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 21.  【答案】A；B【解析】根据题意设该正三棱锥为 ，取 的中点 ，连接 ，设 为 的中心，则 在 上，连接 ，则 ，易知 ，则 ，，所以正三棱锥的高 ，故A正确；正三棱锥的斜高为 ，故B正确；正三棱锥的体积为 ，故C错误；正三棱锥的侧面积为 ，故D错误．【知识点】棱锥的表面积与体积 22.  【答案】A；B；C【解析】如图所示，因为 ，，，，所以根据异面直线的概念可知选项A正确．取 的中点为 ，连接 ，，连接 ，，相交于点 ．因为侧面 为正三角形，所以 ．因为底面 为菱形，，所以 是等边三角形，所以 ．又 ，，所以 ．故选项B正确．因为底面 为菱形，所以 ，又 ，，所以 ．设平面 与平面 的交线为 ，因为 ，，，所以 ．又因为 ，，所以 ．故选项C正确．由选项B可知 ，又因为 ，，，所以 ．因为 为正三角形，，所以 ．因为底面 为菱形，，，所以菱形 的面积为 ．所以四棱锥 的体积为 ．故选项D错误．【知识点】棱锥的表面积与体积、空间的平行关系、空间的垂直关系