2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离提升练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离提升练习卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。
立体几何点面距离提升（共22题） 一、选择题（共8题）如图所示，在长方体 中，，，， 分别是面 ，面 的中心，则 ， 两点间的距离为  A．  B．  C．  D．  在正方体 ，点 是侧面 内的一动点，若点 到直线 与到直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是  A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 已知在三棱锥 中，，， 两两垂直，且长度相等．若点 ，，， 都在半径为 的球面上，则球心到平面 的距离为  A．  B．  C．  D．  如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则点 到平面 的距离等于  A．  B．  C．  D．  已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，则点 到直线 的距离是  A．  B．  C．  D．  在正方体 中， 为侧面 所在平面上的一个动点，且点 到平面 的距离与到直线 的距离相等，则动点 的轨迹为  A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上．若球 的表面积为 ，则 到平面 的距离为  A．  B．  C．  D．  将半径都为 的 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题）在空间直角坐标系中，点 为平面 外一点，且 ，，若平面 的一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为    ． 已知球的表面积为 ，此球面上有 ，， 三点，且 ，，则球心到平面 的距离为    ． 在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 中，，，堑堵的顶点 到直线 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则 的取值范围是    ． 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 相邻的三个顶点到 的距离分别为 ， 和 ， 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 到平面 的距离可能是：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．以上结论正确的为    ．（写出所有正确结论的编号） 三、解答题（共6题）如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1)  直线 与平面 的位置关系是怎样的？(2)  平面 与平面 的位置关系是怎样的？(3)  线段 的长度是点 到平面 的距离吗？ 如图，在四棱锥 中，，底面 是平行四边形，，， 的 的中点．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 的距离． 如图，四棱锥 的底面 是矩形，，，．(1)  求证：；(2)  求二面角 的余弦值；(3)  求点 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，，侧棱 ，底面 为直角梯形，其中 ，，， 为 中点．(1)  求证：．(2)  求异面直线 与 所成角的余弦值；(3)  线段 上是否存在点 ，使得它到平面 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 在四棱锥 中，， 是正三角形， 与 的交点为 ，又 ，，点 是 中点．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，，．以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点 ．(1)  求证：平面 ；(2)  求直线 与平面 所成的角；(3)  求点 到平面 的距离． 四、多选题（共4题）如图，点 是正方体 的侧面 内的动点，则  A．点 至少存在两个位置满足  B．点 存在无数个位置满足到直线 和直线 的距离相等 C．三棱锥 的体积存在最大值 D．过点 的平面截正方体 所得截面多边形最大边数为  如图，正方体 的棱长为 ，则下列四个命题正确的是：  A．直线 与平面 所成的角等于  B．点 到面 的距离为  C．两条异面直线 和 所成的角为  D．三棱柱 外接球半径为  在正方体 中，， 分别是 ， 的中点，则下列结论正确的是  A．  B．  C．  D．点 与点 到平面 的距离相等 已知正方体 的棱长为 ，点 ， 分别是 ， 的中点， 在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是  A．点 到直线 的距离是  B．点 到平面 的距离为  C．平面 与平面 间的距离为  D．点 到直线 的距离为
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】C【解析】以点 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则点 ，，所以 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 2.  【答案】D【解析】画出图象如图所示，由于 到直线 的距离，也即是 的长度．由此将问题转化为 到直线 的距离和到点 的距离相等，这恰好是抛物线的定义．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 3.  【答案】C【解析】因为在三棱锥 中，，， 两两垂直，且长度相等，所以此三棱锥的外接球即以 ，， 为三边的正方体的外接球 ，因为球 的半径为 ，所以正方体的边长为 ，即 ，球心到截面 的距离即正方体中心到截面 的距离，设 到截面 的距高为 ，则正三棱锥 的体积 ，因为 为边长为 的正三角形， ，所以 ，所以球心（即正方体中心） 到截面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 4.  【答案】D【解析】以 为坐标原点，分别以 ，， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，．设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，得 ．又因为 ，所以点 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 5.  【答案】B【解析】以 为原点，，， 的方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，则 ，所以 ，．设 与 的夹角为 ，则 ，所以 ．故点 到直线 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 6.  【答案】D【解析】易知 ，所以 等于点 到直线 的距离．因为 ，所以点 到平面 的距离等于点 到直线 的距离．因为点 到平面 的距离与到直线 的距离相等，所以 等于点 到直线 的距离．根据抛物线的定义，可知动点 的轨迹为抛物线．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 7.  【答案】C【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、球的表面积与体积 8.  【答案】C【解析】四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为 ，则其高 ．设装入四个钢球的正四面体容器为 （如图），球心 在其高 上，且设 为球 与平面 的切点，则 在 中线 上，．由 ，得解得 ．因此【知识点】组合体、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、空间几何体的结构特征 二、填空题（共4题）9.  【答案】 【解析】由题意得，，，所以 ，所以 ，因为 ，所以点 到平面 的距离为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 10.  【答案】 【知识点】球的表面积与体积、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 11.  【答案】 【解析】设 ，，则 ，，，且 到平面 的距离为 ．所以 ，，所以 ，又  所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ．故答案为：．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 12.  【答案】①③④⑤【解析】如图， 到平面 的距离分别为 ．  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ，如图：同理， 的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；而 为 中的一点，所以选①③④⑤．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 三、解答题（共6题）13.  【答案】(1)  根据展开图还原长方体，其示意图如图所示，则 ．(2)  平面 垂直于平面 ．(3)  线段 的长度是点 到平面 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系 14.  【答案】(1)  设 ，则 ，，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  点 到平面 的距离 点 到平面 的距离，作 ，垂足为 ，因为 ，，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，，所以 ，所以 到 的距离为 ，即点 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 15.  【答案】(1)  建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，．在 中，，，所以 ，所以 ，，所以 ，，，所以 ，，即 ，，又 ，所以 ．(2)  由（）得 ，．设平面 的法向量为 ，则 即 所以 所以平面 的一个法向量为 ．因为 ，所以 为平面 的一个法向量．易知二面角 为锐角，设为 ，依题意可得 ，即二面角 的余弦值为 ．(3)  由（）得 ，，设平面 的法向量为 ，则 即 所以 ，所以平面 的一个法向量为 ，因为 ，所以点 到平面 的距离 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 16.  【答案】(1)  在 中，， 为 中点，所以 ．又 ，，，所以 ．(2)  以 为坐标原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，依题意，易得 ，，，，，则 ，， ．所以异面直线 与 所成角的余弦值是 ．(3)  假设线段 上存在点 ，使得它到平面 的距离为 ，由（2）知 ，．设平面 的一个法向量为 ，则 所以 即 ，取 ，得平面 的一个法向量为 ．设 ，，由 ，得 ，解得 或 （舍去），此时 ，，所以存在点 满足题意，此时 ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面垂直关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 17.  【答案】(1)  因为 是正三角形，所以 ，又因为 ，所以 所在直线为线段 的垂直平分线，所以 为 的中点，又点 是 中点，所以 ，又 ，，所以 ．(2)  设 到平面 的距离为 ，在 中，，所以 ，在 中，，所以 ，在 中，，，，所以 ．由 ．即 ，解得 ．所以点 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 18.  【答案】(1)  依题设， 在以 为直径的球面上，则 ．因为 ，则 ，又 ，所以 ，则 ，因此有 ，所以平面 ．(2)  方法一：设平面 与 交于点 ，因为 ，所以 ，则 ，由（1）知，，则 是 在平面 上的射影，所以 就是 与平面 所成的角，且 ，所以           所求角为 ．方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，．设平面 的一个法向量 ，由可得          令 ，则即设所求角为 ，则所求角的大小为 ．(3)  方法一：因为 是 的中点，则 点到平面 的距离等于 点到平面 的距离的一半．由（1）知， 于 ，则 就是 点到平面 的距离．因为在 中， ，所以 为 中点，则 点到平面 的距离等于 ．方法二：设所求距离为 ，由得【知识点】线面角、空间的垂直关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 四、多选题（共4题）19.  【答案】A；B；C；D【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 20.  【答案】A；B；D【知识点】异面直线所成的角、线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 21.  【答案】A；C【解析】建立空间直角坐标系，如图所示，设 ，平面 的法向量为 ．因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，又 ，，所以 ，故选项A正确； ，，，，． ，，，所以 即 令 ，则 所以 ，因为 ，所以 与 不平行，所以 不垂直于平面 ，故选项B错误；  故选项C正确； ，设点 到平面 的距离为 ，则 ， ，设 到平面 的距离为 ，则 ，故选项D错误．故选AC．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 22.  【答案】B；C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，所以 ，．设 ，则 ，．故 到直线 的距离 ，故A错．易知 ，平面 的一个法向量 ，则点 到平面 的距离 ，故B对． ，，．设平面 的法向量为 ，则 所以 令 ，得 ，，所以 ．所以点 到平面 的距离 ．因为易证得 ，所以平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离，所以平面 与平面 间的距离为 ，故C对．因为 ，所以 ，又 ，则 ，所以点 到 的距离 ，故D错．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题