2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--线面夹角基础练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--线面夹角基础练习卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何线面夹角基础（共22题） 一、选择题（共8题）已知向量 ， 分别是直线 的方向向量和平面 的法向量，若 ，则 与 所成的角为  A．  B．  C．  D．  与 角终边相同的角是  A．  B．  C．  D．  正方体 中， 与对角面 所成角的大小是  A．  B．  C．  D．  在直三棱柱 中，，，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为  A．  B．  C．  D．  在长方体 中，， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为  A．  B．  C．  D．  设直线 与平面 相交，且 的方向向量为 ， 的法向量为 ．若 ，则 与 所成的角的大小为  A．  B．  C．  D．  日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为 ），地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面．在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为  A．  B．  C．  D．  如图所示，在正三棱柱 中，若 ，则 与平面 所成角的大小为  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）如图，正方体 的棱长为 ，，， 分别为 ，， 的中点，则  A．线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行 C．点 与点 到平面 的距离相等 D．平面 截正方体所得的截面面积为  在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．直线  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  如图所示，设 ， 分别是正方体 的棱 上的两点，且 ，，其中正确的说法为  A．三棱锥 的体积为定值 B．异面直线 与 所成的角的大小为  C．  D．直线 与平面 所成的角的大小为  三、填空题（共4题）若平面 外的直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是    ． 设二面角 的大小为 ， 为棱上一点， 在 内与 成 角，则 与平面 所成角的大小为    ． 已知直角 的斜边 在平面 内，， 与 所成角分别为 ，， 是斜边 上的高线，则 与平面 所成角的正弦值为    ． 如图，在三棱锥 中，三条棱 ，， 两两互相垂直，且 ，点 是 的中点，则 与平面 所成角的大小是    （用反三角函数表示）． 四、解答题（共6题）如图，三棱锥 中，，， 垂直平分线段 ，且分别交 ， 于 ， 两点，又 ，．(1)  求证：．(2)  求三棱锥 的体积．(3)  在线段 上是否存点 ，使得 与平面 所成的角为 ．请说明理由． 如图，正方形 是圆柱的轴截面， 为下底面圆周上一点，若 ，求 与圆柱下底面所成的角． 圆锥的全面积为 ，侧面展开图是一个半圆．求：(1)  圆锥母线与底面所成的角．(2)  圆锥的体积． 如图， 是矩形，，，， 是线段 上的点， 是线段 上的点，且 ．求直线 与平面 所成角的正弦值． 如图，在正方体 中， 为 的中点．(1)  求证：；(2)  求直线 与平面 所成角的正弦值． 在四棱锥 中，底面 是矩形，，，．以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点 ，交 于点 ．(1)  求证：；(2)  求直线 与平面 所成的角的大小；(3)  求点 到平面 的距离．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】A【解析】设所求角为 ，，则 ，所以 ．【知识点】线面角 2.  【答案】C【解析】与 角终边相同的角为 ，当 时，．【知识点】线面角 3.  【答案】D【知识点】线面角 4.  【答案】D【解析】连接 ，交 于 ，再连接 ．因为 ，，且 ，所以 ．故 即为直线 与平面 所成角．所以 ．【知识点】线面角 5.  【答案】C【解析】连接 ，因为 ，所以 ，，所以 为直角三角形．又 ，所以 ．又 ，所以 ，故该长方体的体积 ．【知识点】线面角 6.  【答案】C【解析】如图所示，直线 与平面 所成的角 ．【知识点】线面角 7.  【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线；  是点 处的水平面的截线，依题意可知 ；  是晷针所在直线．  是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知 ，根据线面垂直的定义可得 ．由于 ，，所以 ，由于 ，所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 ．【知识点】线面角 8.  【答案】A【解析】取 的中点 ，连接 ，，因为 且 ，，，所以 ，所以 即为 与 所成的角．设 ，则 ，，，所以 ，所以 ．【知识点】线面角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【知识点】线面角 10.  【答案】B；D【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，所以 ，，，所以 ，所以 ， ，所以 不垂直于 ，故 不垂直于平面 ，故A不正确．因为 ，，，所以 ，又因为点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，易知点 到平面 的距离为定值，故 为定值．故B正确．易知 ，当点 与线段 的端点重合时，异面直线 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成的角，在 中，，所以 ，在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C不正确．设 ，易知 ，，，，因为 ，，，所以 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，则  当 时， 取得最大值，为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．故选BD．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 11.  【答案】B；D【解析】A错误，如图，连接 ，，由正方体可得 ，且 ，则 ，，所以 ，故 ，同理，连接 ，易证得 ，又因为 ，所以 ，若直线 ，则 ，这与平面 与平面 相交矛盾，所以A错误．B正确，，因为点 在线段 上运动，所以 ，面积为定值，且 到平面 的距离即为 到平面 的距离，也为定值，故体积为定值；C错误，由 ，当点 与线段 的端点重合时， 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成角．在 中，，所以 ．在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，所以C错误．D正确，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，，，．由前面可得，，所以 为平面 的一个法向量．设直线 与平面 所成的角为 ，则   当 时， 有最大值 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线的距离、线面角、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系 12.  【答案】A；B【解析】对于A选项，，为定值，故正确；对于B选项，异面直线 与 所成的角与直线 与 所成的角为同一个角，即异面直线 与 所成的角的平面角为 ，故正确；如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ，对于D选项，，平面 即平面 ，设平面 的法向量是 ，则 即 取 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成的角的平面角为 ，则 ，所以 ，故错误；对于C选项，由D选项可知直线 与平面 所成的角为 ，故错误．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角、线面角 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】线面角 14.  【答案】 【知识点】线面角 15.  【答案】 【知识点】线面角 16.  【答案】 【知识点】线面角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为 垂直平分线段 ，所以 为 中点且 ，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  如图所示取 中点 ，连接 ，则 为 中位线，即 ，，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 且 ， ，所以 ，，所以 为直角三角形， 为直角三角形，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．因为 为直角三角形，所以 ，因为 为直角三角形，所以 ，因为 ，所以 即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．(3)  由（）知 ，， 两两互相垂直，所以以 为 轴， 为 轴， 平行线 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，所以 ，，，，，设 其中 ，则 ，，设平面 法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，即 ，所以 ，故不存在．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 18.  【答案】 或 ． 【知识点】线面角 19.  【答案】(1)  设圆锥的母线长为 ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为 ，所以圆锥底面半径 ，圆锥的底面直径为 ，所以圆锥的轴截面是正三角形，所以母线与底面所成的角为 ．(2)  又由 ，得 ，所以圆锥的高 ，所以圆锥的体积 ．【知识点】线面角 20.  【答案】因为 ，过 作 于 ，则 ，连 ，则 为直线 与平面 所成的角． ，．在 中，，所以 ．【知识点】线面角 21.  【答案】(1)  如下图所示：在正方体 中， 且 ， 且 ，所以 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，因为 ，，所以 ． (2)  以点 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ．设正方体 的棱长为 ，则 ，，，， ，，设平面 的法向量为 ，由 得 令 ，则 ，，则 ． ．因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【知识点】线面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 22.  【答案】(1)  图 依题设知， 是所作球面的直径，则 ．又因为 ，则 ，又 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ．(2)  方法一：由（）知，，又 ，则 是 的中点可得 ， ，则 ，设 到平面 的距离为 ，由 ，即 ，可求得 ，设所求角为 ，则 ，．方法二：如图 所示，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，；设平面 的一个法向量 ，由 ， 可得： 令 ，则 ．设所求角为 ，则 ，所以所求角的大小为 ．(3)  方法一：可求得 ．因为 ，由 （），得 （）．所以 （）．故 点到平面 的距离等于 点到平面 距离的 ．又因为 是 的中点，则 ， 到平面 的距离相等，由（）可知所求距离为 ．方法二：由条件可得，．在 中，，所以 ，则 ，，所以所求距离等于点 到平面 距离的 ，设点 到平面 距离为 ，则 ，所以所求距离为 ．【知识点】线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）