2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--线面夹角巩固练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--线面夹角巩固练习卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何线面夹角巩固（共22题） 一、选择题（共8题）如图，在正方体 中，下列结论错误的是  A．直线 与直线 所成的角为  B．直线 与直线 所成的角为  C．线段 在平面 内的射影是一个点 D．线段 恰被平面 平分 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为 ），地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面．在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为  A．  B．  C．  D．  在四面体 中，，， 两两垂直，已知 ，，则直线 与平面 所成角的正弦值是  A．  B．  C．  D．  在正方体 中，求直线 和平面 所成的角为  A．  B．  C．  D．  如图，在棱长均相等的四棱锥 中， 为底面 的中心，底面 为正方形，， 分别为侧棱 ， 的中点，则下列结论中错误的有  A．  B．  C．直线 与直线 所成角的大小为  D．  在棱长为 的正方体 中，点 是棱 上一动点，则下列选项中不正确的是  A．异面直线 与 所成的角的大小为  B．直线 与平面 一定平行 C．三棱锥 的体积为定值  D．  如图，在等腰 中，，， 为 的中点， 为 的中点， 为线段 上一个动点（异于两端点）， 沿 翻折至 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在线段 上运动时，以下说法错误的是  A．线段 为定长 B．  C．  D．点 的轨迹是圆弧 如图，在正方体 中，棱 的中点为 ．若光线从点 出发，依次经三个侧面 ，， 反射后，落到侧面 （不包括边界），则入射光线 与侧面 所成角的正切值的范围是  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）如图，正方体 的棱长为 ，，， 分别为 ，， 的中点，则  A．线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行 C．点 与点 到平面 的距离相等 D．平面 截正方体所得的截面面积为  在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  已知在菱形 中，， 与 相交于点 ，将 沿 折起，使顶点 至点 处，在折起的过程中，下列结论正确的是  A．  B．存在一个位置，使 为等边三角形 C． 与 不可能垂直 D．直线 与平面 所成的角的最大值为  如图，在长方体 中，，，， 分别为棱 ， 的中点，则下列说法正确的是  A． ，，， 四点共圆 B．  C．直线 与 所成的角为  D．  三、填空题（共4题）思考辨析，判断正误．直线与平面所成角为 ，则 ．  正三棱锥底面边长为 ，侧棱与底面所成的角的大小为 ，则它的斜高等于    ． 正三棱柱 的所有棱长都相等，则 与平面 所成的角的余弦值为    ． 已知点 是棱长为 的正方体 的内切球 的球面上的动点，点 为 的中点，若满足 ，则 与平面 所成角的正切值的最小值是    ． 四、解答题（共6题）如图，三棱锥 中，，， 垂直平分线段 ，且分别交 ， 于 ， 两点，又 ，．(1)  求证：．(2)  求三棱锥 的体积．(3)  在线段 上是否存点 ，使得 与平面 所成的角为 ．请说明理由． 已知空间四边形 的各边及对角线都相等， 和平面 所成角的余弦值． 如图，四边形 为正方形，，，，，．(1)  求证：；(2)  求直线 与平面 所成角的正弦值． 如图，在四棱锥 中，，，，底面 为正方形，， 分别为 ， 的中点．(1)  证明：．(2)  求直线 与平面 所成角的正弦值．(3)  求二面角 的余弦值． 如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ，，，．(1)  求直线 与平面 的夹角；(2)  求点 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，，，， , , , ；(1)  求证：(2)  求直线 与 所成角的正弦值
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【解析】因为已知为正方体，由三垂线定理得到直线 与平面 垂直，所以直线 与直线 垂直；故A正确；因为三角形 是等边三角形，并且 ，所以直线 与直线 所成的角为 ；正确；因为直线 与平面 垂直，所以线段 在平面 内的射影是一个点；正确；利用正方体的对称性，线段 被平面 和平面 分成 等分，且交点不重合；故D错误．【知识点】线面角、异面直线所成的角 2.  【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线；  是点 处的水平面的截线，依题意可知 ；  是晷针所在直线． 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据面面平行的性质定理可知 ，根据线面垂直的定义可得 ．由于 ，，所以 ，由于 ，所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 ．【知识点】线面角 3.  【答案】C【解析】如图所示建立空间直角坐标系，（，， 两两垂直，故以点 为坐标原点）故 ，，， ，，，设平面 的法向量为 ，因此 即 解得  ，令 ，则 ，设 与平面 夹角为 ，则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．【知识点】线面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 4.  【答案】B【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，则 ，设直线 和平面 所成的角为 ， ，所以 ，所以直线 和平面 所成的角为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 5.  【答案】C【解析】对于选项A，连接 ，显然 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，由线面平行的判定定理可得，；对于选项B，由 ， 分别为侧棱 ， 的中点，得 ，又底面 为正方形，所以 ，由线面平行的判定定理可得，；对于选项C，因为 ，所以 为直线 与直线 所成的角，又因为所有棱长均相等，所以 ，故直线 与直线 所成角的大小为 ；对于选项D，因为底面 为正方形，所以 ，又所有棱长均相等，所以 ，故 ，又 ，所以 ．【知识点】线面角、直线与平面平行关系的判定 6.  【答案】C【解析】对于A选项，因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角，因为 为等边三角形，所以 ，所以异面直线 与 所成角的大小为 ，即A正确；对于B选项：因为 ，，所以 ，即B正确；对于C选项，  即C错误；对于D选项，在正方体 中，，，所以 ，即D正确，故选：C．【知识点】异面直线所成的角、线面角 7.  【答案】C【解析】如图，记 为 在平面 上的射影，由 可得 ．记 交 于点 ，则 ．在 中，作 交 于点 ，连接 ，则 ，，从而点 在平面 上的射影 在直线 上．取 的中点 ，则 ，， 均为定长．易知点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆弧，因为 ，且 ，所以 ．又 ，，所以 ，得 ，于是 ．故选C．【知识点】线面角 8.  【答案】C【知识点】线面角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【知识点】线面角 10.  【答案】B；D【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，所以 ，，，所以 ，所以 ， ，所以 不垂直于 ，故 不垂直于平面 ，故A不正确．因为 ，，，所以 ，又因为点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，易知点 到平面 的距离为定值，故 为定值．故B正确．易知 ，当点 与线段 的端点重合时，异面直线 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成的角，在 中，，所以 ，在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C不正确．设 ，易知 ，，，，因为 ，，，所以 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，则  当 时， 取得最大值，为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．故选BD．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 11.  【答案】A；B；D【解析】A选项，因为菱形 中， 与 相交于点 ，所以 ，．将 沿 折起，使顶点 至点 处，折起过程中， 始终与 垂直，因此 ．又 ，所以由线面垂直的判定定理可得 ，因此 ，故A正确．B选项，因为折起的过程中， 边的长度始终不变，因此 ．若 为等边三角形，则 ．设菱形 的边长为 ，由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，即二面角 的余弦值为 时， 为等边三角形，故B正确．C选项，，，由A选项知，，，所以 ，因此 ．同B选项，设菱形 的边长为 ，易得 ，，所以 ，显然当 时，，即 ，故C错误．D选项，同B，C选项，设菱形 的边长为 ，则 ，，，由几何体直观图可知，当 时，直线 与平面 所成的角最大，为 ，易知 ，故D正确．故选ABD．【知识点】线面角、空间向量的应用 12.  【答案】B；C【解析】对于A，由图显然 ， 是异面直线，故 ，，， 四点不共面，故A错误；对于B，由题意 ，故平面 ，故B正确；对于C，取 的中点 ，连接 ，，可知三角形 为等边三角形，故C正确；对于D，，显然 与平面 不平行，故D错误；故选：BC．【知识点】线面角 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】线面角 14.  【答案】 【知识点】线面角 15.  【答案】 【解析】设三棱柱的棱长为 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则 ，，，平面 的一个法向量为 ．设 与平面 所成的角为 ，则 ，所以 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 16.  【答案】 【解析】如图所示，， 分别为棱 ， 的中点，连接 ，，，易知 ，则点 在平面 内，又点 在内切球 的球面上，所以点 在平面 截球 所得的截面圆 的圆周上．作 于点 ，连接 ，则 即为 与平面 所成的角， ，其中 为定值，则满足题意时， 取到最大值．设圆 的半径为 ，则 ，即当 取到最大值时，，，， 共线，连接 ，，，，．由 ，得 ，可得 ．在 中，，，由勾股定理可得 ．在 中，，，由勾股定理可得 ．因为 为 的中位线，所以 ，所以 ，所以 与平面 所成角的正切值的最小值是 ．【知识点】线面角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为 垂直平分线段 ，所以 为 中点且 ，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  如图所示取 中点 ，连接 ，则 为 中位线，即 ，，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 且 ， ，所以 ，，所以 为直角三角形， 为直角三角形，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．因为 为直角三角形，所以 ，因为 为直角三角形，所以 ，因为 ，所以 即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．(3)  由（）知 ，， 两两互相垂直，所以以 为 轴， 为 轴， 平行线 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，所以 ，，，，，设 其中 ，则 ，，设平面 法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，即 ，所以 ，故不存在．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 18.  【答案】过点 作 垂直于平面 ，垂足为 ，连接 ，则 是 在平面 上的射影，所以 就是 和平面 所成角．设空间四边形 的边长为 ，连接 ，，由 ，易知 ，， 全等，所以 ，即 是 的中心．在 中，可以计算出 ．在 中，，，所以 ，即 和平面 所成角的余弦值为 ．【知识点】线面角 19.  【答案】(1)  因为 ，，所以 ，因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，，所以 ，，因为四边形 为正方形，所以 ，如图建立空间直角坐标系 ，则 ，，，， ，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，，于是 ，平面 的法向量为 ，设直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．【知识点】线面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 20.  【答案】(1)  因为 ，，所以 ，又因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，且 ，所以 ，则以点 为原点，分别以 ，， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系（如图），设 ，可得 ，，，，，，所以向量 ，，，设向量 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，于是有 ，因此直线 与平面 所成角的正弦值为 ．(3)  因为 ，，设向量 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 为平面 的法向量，所以 ，由图形可知，二面角 的平面角为锐角，则它的余弦值为 ．【知识点】线面角、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 21.  【答案】(1)   ；(2)   ．【知识点】线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 22.  【答案】(1)  因为 ，所以 , , 又 ，以 为坐标原点，以 ，， 分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ，，，，， 所以 , , 即 ， 所以 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ．(2)  设 的法向量为 ， 因为 ，， 所以 令 ，得 ，又因为 ，设直线 与 所成角为 ， 所以 ，所以直线 与 所成角的正弦值为 ．【知识点】空间向量的应用、线面角、平面与平面垂直关系的判定