2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积基础练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积基础练习卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何表面积与体积基础（共22题） 一、选择题（共8题）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 A． B． C． D． 半径为 的球的体积是  A．  B．  C．  D．  如图所示，在 中，，，，若将 绕 所在的直线旋转一周，则所形成的旋转体的表面积是  A．  B．  C．  D．  沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 分钟，那么经过 分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）  A．  B．  C．  D．  某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为  A．  B．  C．  D．  正方体的内切球与其外接球的体积之比为  A．  B．  C．  D．  直三棱柱 的各侧棱和底面边长为 ，点 是 上任意一点，连接 ，，，则三棱锥 的体积是  A．  B．  C．  D．  如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 ，那么这个几何体的表面积为  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）已知 的三边长分别是 ，，，则下列说法正确的是  A．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为  B．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  C．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为  D．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  已知 的三边长分别是 ，，．下列说法正确的是  A．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为  B．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  C．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为  D．以 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为  设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为 ，若某正方体的所有顶点均在外球面上，所有面均与内球相切，则  A．该正方体的核长为  B．该正方体的体对角线长为  C．空心球的内球半径为  D．空心球的外球表面积为  已知球 的直径 ，， 是球 表面上的两点，，则  A．线段 的最长长度为  B．当 最长时，点 到以 为直径的球 的截面圆的距离为  C．三棱锥 的体积最大是  D．只有 ，，， 共面时，  三、填空题（共4题）已知某球体的表面积为 ，则该球体的体积是    ． 如图，边长为 的正方形 中， 为 中点，将它沿 ， 折起，使 ， 重合，组成一个四面体，这个四面体的体积为    ．体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为    ． 某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是    ． 四、解答题（共6题）如图，正方体 的棱长为 ．(1)  求证：；(2)  求三棱锥 的体积． 已知过球面上三点 ，， 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 ，，求球面面积与球的体积． 如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的菱形，，对角线 与 相交于点 ，， 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积． 已知 的三边分别是 ，，，以 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积． 圆柱形容器底半径为 ，两直径为 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，求容器内水面下降的高度． 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图 ）穿在一起，在没有帽的一端捶打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图 （单位：）．（加工中不计损失）(1)  若钉身长度是钉帽高度的 倍，求铆钉的表面积；(2)  若每块钢板的厚度为 ，求钉身的长度（结果精确到 ）．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【知识点】表面积与体积 2.  【答案】B【解析】因为球的半径为 ，所以球的体积 ．【知识点】球的表面积与体积 3.  【答案】A【解析】 绕 所在的直线旋转一周，所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，是一个以 到 所在直线的距离 为半径，母线为 的圆锥挖去同底的以 为母线的圆锥的组合体，如图， ， ， ，所以该几何体的表面积为 ．【知识点】圆锥的表面积与体积 4.  【答案】D【解析】由于时间是 分钟，刚好是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上底面分成体积相等的两部分，所以 ,所以 ,所以 ．【知识点】圆锥的表面积与体积 5.  【答案】B【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥 ，棱锥的底面是边长为 的正方形，一条长为 的侧棱与底面垂直， 个侧面都是直接三角形，由所给数据可得该几何体表面积为 ，故选B．【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积 6.  【答案】C【知识点】球的表面积与体积 7.  【答案】B【知识点】棱锥的表面积与体积 8.  【答案】A【知识点】由三视图还原空间几何体、棱锥的表面积与体积 二、多选题（共4题）9.  【答案】A；B；D【解析】以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，侧面积为 ，故A正确；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥的组合体，底面半径为 ，故所得旋转体的体积 ，故B正确；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，侧面积为 ，表面积为 ，体积为 ，故C错误，D 正确．【知识点】圆锥的表面积与体积 10.  【答案】A；D【解析】以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，其侧面积为 ，体积为 ，故A正确，B错误；以 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ，母线长为 ，高为 的圆锥，侧面积为 ，体积为 ，故C错误，D正确．【知识点】圆锥的表面积与体积 11.  【答案】B；D【解析】设内外球半径分别为 ，，则正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，所以 ，又由题知 ，所以 ，，所以正方体棱长为 ，体对角线长为 ，所以外接球表面积为 ．【知识点】球的表面积与体积、组合体 12.  【答案】A；B；C【解析】如图，连接 ，，因为 ， 在球 表面上，所以 ．又 ，所以 ，则 ，，所以 ，所以 ， 均为直角三角形，并且它们全等．设过 ，且与 垂直的球 的截面的圆心为 ，易知 在 上，连接 ，，则 ，，，由题意得 ，，，则易得当 ，， 共线时， 取得最大值，为 ，此时，点 到以 为直径的球 的截面圆的距离为 ；当 时， 取得最大值，为 ；无论 ，，， 是否共面， 都成立．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的截面分析、空间线段的长度 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【解析】 ，所以 ．【知识点】球的表面积与体积 14.  【答案】 【知识点】棱锥的表面积与体积 15.  【答案】 【解析】正方体体积为 ，可知其边长为 ，正方体的体对角线为 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 ．【知识点】组合体、球的表面积与体积 16.  【答案】 【解析】由已知有可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为 ，底面半径 ，高为 ，故母线长 ，故圆锥的侧面积 ．【知识点】圆锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为四棱柱 为正方体，所以 ．因为 ，所以 ．因为底面 为正方形，所以 ．因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ．(2)  易知 ．因为 ，所以 是三棱锥 的高．因为 ，所以三棱锥 的体积为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积 18.  【答案】如图设球心为 ，球的半径为 ，作 于点 ，则 ，且 是 的外心，设 是 的中点，因为 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，．又 ，所以 ，解得 ．所以 ．在 中，，，，由勾股定理得 ，解得 ，所以 ，．【知识点】球的表面积与体积 19.  【答案】由题意，得 ．而底面 是边长为 的菱形，，所以 ，，从而 ．所以 ．【知识点】棱锥的表面积与体积 20.  【答案】由题意得以 所在直线为轴将此三角形旋转一周，得两个圆锥，底面半径为 ，母线长分别为 ，，因此所得旋转体的表面积为 ．【知识点】圆锥的表面积与体积 21.  【答案】 ． 【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积 22.  【答案】(1)  设钉身的高为 ，钉身的底面半径为 ，钉帽的底面半径为 ，由题意可知圆柱的高 ，圆柱的侧面积 ，半球的表面积 ，故铆钉的表面积 ．(2)   ，，设钉身的长度为 ，则 ，由于 ，所以 ，解得 ．【知识点】球的表面积与体积、圆柱的表面积与体积