2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角提升练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角提升练习卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
异面直线距离与夹角提升（共22题） 一、选择题（共8题）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：① ；② 与 所成的角为 ；③ 与 是异面直线；④ ．其中正确的是  A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 已知二面角 的大小为 ， 和 是两条异面直线，且 ，，则 与 所成的角的大小为  A．  B．  C．  D．  已知正方体 的棱长为 ， 是底面 的中心，则异面直线 与 所成角的大小为  A．  B．  C．  D．  正四面体 中，， 分别为棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成的角为  A． B． C． D． 如图所示，三棱柱 所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，， 分别为棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  设四边形 ， 都是边长为 的正方形，，则异面直线 与 所成的角的大小为  A．  B．  C．  D．  在空间四边形 中，，且异面直线 与 所成的角为 ，， 分别是边 和 的中点，则异面直线 和 所成的角等于  A．  B．  C．  D． 或  正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与 所成的角的取值范围为  A． B． C． D． 二、多选题（共4题）在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，，且 ，以下结论正确的有  A．  B．点 到 的距离为定值 C．三棱锥 的体积是正方体 体积的  D．异面直线 ， 所成的角为定值 已知 ， 分别是三棱锥 的棱 ， 的中点，，若异面直线 与 所成角的大小为 ，则线段 的长为  A．  B．  C．  D．  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题（共4题）空间四边形 中，，，， 分别是 ，，， 的中点，若 ，且 与 所成的角为 ，则四边形 的面积是    ． 在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，将四边形 沿 翻折，使得 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为    ． 已知长方体 中，， 分别是 和 的中点，，，，则异面直线 与 所成角的余弦值是    ． 如图，已知平面四边形 ，，，，．沿直线 将 翻折成 ，直线 与 所成角的余弦的最大值是    ． 四、解答题（共6题）如图所示，在等腰直角三角形 中，，，，．若 ，且点 为 的中点．求异面直线 与 所成角的余弦值． 已知正方体 ．(1)  画出两个平面 与 的交线；(2)  若正方体的边长为 ，求异面直线 与 所成角的大小． 如图， 是 平面外的一点，， 分别是 ， 的中点．(1)  求证：直线 与 是异面直线；(2)  若 ，，求 与 所成的角． 如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，半径为 ，母线长为 ．(1)  求该圆锥的体积；(2)  已知 为圆锥底面的直径， 为底面圆周上一点，且 ， 为线段 的中点，求异面直线 与 所成的角的大小． 如图，在三棱柱 中，，，， 是 的中点．(1)  求证：；(2)  求异面直线 与 所成的角的大小；(3)  若 为 中点，求二面角 的正切值． 如图，已知四边形 是正方形，，，，，， 分别为 ，， 的中点．(1)  求证：；(2)  求平面 与平面 所成锐二面角的大小；(3)  在线段 上是否存在一点 ，使直线 与直线 所成的角为 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【知识点】异面直线所成的角 2.  【答案】C【解析】设直线 ， 的方向向量 ，，，，所以 ， 分别是平面 ， 的法向量，二面角 的大小为 ，， 的夹角为 或 ，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以 与 所成的角为 ．故选：C．【知识点】异面直线所成的角 3.  【答案】A【解析】如图所示，连接 ，，，则 ， 是 的中点，则 （或其补角）是异面直线 与 所成的角，在 中，，，，所以 ，，因此异面直线 与 所成角的大小为 ．【知识点】异面直线所成的角 4.  【答案】B【解析】取 中点 ，连接 ，，设正四面体的棱长为 ，则 ，，且 ，所以 是异面直线 与 所成的角，取 中点 ，连接 ，，则 ，，因为 ，，，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以异面直线 与 所成的角为 ．【知识点】异面直线所成的角 5.  【答案】A【解析】取 中点 ，连接 ，，因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，．所以 且 ，则四边形 为平行四边形，则 ．所以异面直线 与 所成角为 ，连接 ．设三棱柱各棱长为 ，则 ，．在三角形 中，由余弦定理可得 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．【知识点】异面直线所成的角 6.  【答案】D【解析】根据题意，作出图形，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，，，，所以 ，，所以 ，，，所以 ，所以 ，又因为异面直线所成的角 的取值范围为 ，所以异面直线 与 所成的角的大小为 ，故选D．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 7.  【答案】D【知识点】异面直线所成的角 8.  【答案】D【解析】在正方体 中， 与 平行，故 即为 与 所成的角，取 中点 ，连接 交 于 ，易得 ，则有 ．当 越大， 越大，当 越小， 越小，显然当 与 重合时， 最大，此时 是等边三角形，，当 与 重合时， 最小，此时 ，由 得 ．【知识点】异面直线所成的角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，所以 ，，，所以 ，所以 ， ，所以 不垂直于 ，故 不垂直于平面 ，故A不正确．因为 ，，，所以 ，又因为点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，易知点 到平面 的距离为定值，故 为定值．故B正确．易知 ，当点 与线段 的端点重合时，异面直线 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成的角，在 中，，所以 ，在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C不正确．设 ，易知 ，，，，因为 ，，，所以 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，则  当 时， 取得最大值，为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．故选BD．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 10.  【答案】A；B；C【知识点】异面直线所成的角 11.  【答案】A；D【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，，， ，设 与 的交角为 ，因为异面直线 与 所成的角为 ，所以 或 ，所以  将 ，， 分别代入上式，得 或 ．【知识点】空间向量的应用、异面直线所成的角 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】【解析】四边形 为平行四边形，，由等角定理可知 与 的夹角为 ，所以 ．【知识点】异面直线所成的角 14.  【答案】 【解析】连接 ，与 交于 点，取 中点为 ，连接 ，，易得 ，所以 就是异面直线 与 所成角，设正方形的边长为 ， ，，，所以 ．【知识点】异面直线所成的角 15.  【答案】 【知识点】异面直线所成的角 16.  【答案】【解析】取 的中点 ，连接 ，过 作 交 与点 ，过 作 ，过 作 交 与点 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，又四边形 为矩形，所以直线 与 所成的角为 ， 为面 与面 所成的二面角，设 ，因为 ，所以 ，，又 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 ，当 时， 有最小值为 ，则 ，所以直线 与 所成角的余弦的最大值是 ． 【知识点】异面直线所成的角 四、解答题（共6题）17.  【答案】取 的中点 ，连接 ，，易证 即为异面直线 与 所成的角或其补角．而 ，，，所以 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．【知识点】异面直线所成的角 18.  【答案】(1)  图略．(2)   ．【知识点】异面直线所成的角 19.  【答案】(1)  （用反证法）设 与 不是异面直线，则 与 共面，从而 与 共面，即 与 共面，所以 ，，， 在同一平面内，这与 是 平面外的一点相矛盾．故直线 与 是异面直线．(2)  取 的中点 ，连接 ，，则 ，所以相交直线 与 所成的锐角或直角即为异面直线 与 所成的角．在 中，求得 ，即异面直线 与 所成的角为 ．【知识点】异面直线所成的角 20.  【答案】(1)  如图，由题意得 ，．在 中，，即该圆锥的高 ．由圆锥的体积公式得 ，即该圆锥的体积为 ． (2)  解法 ：连接 ，，如图所示．由 为线段 的中点，得 ，所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角．因为 ，，所以 ，．在 中，，所以 为等边三角形，即 ．因此异面直线 与 所成的角的大小为 ．解法 ：以 为坐标原点，以 ，， 为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得 ，，，，因为 为线段 的中点，得 ，所以 ，．设直线 与 所成的角为 ，向量 与 的夹角为 ，则 ，又 ，所以 ．即异面直线 与 所成的角的大小为 ． 【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 21.  【答案】(1)  因为 ，，所以 ．由 ， 为 的中点得到 因为 ，所以 ．所以 ．(2)  取 的中点 ，连 ，，则 ，所以 是异面直线 与 所成的角．设 ，则由 ，可得 ，，，所以 ．因为在 中，，所以异面直线 与 所成的角为 ．(3)  连接 ，设 是 的中点，过点 作 于 ，连 ，，则 ，又因为 ，所以 ．而 ．所以 ．所以 是二面角 的平面角．由 ，，，得 所以二面角 的平面角正切值是 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、异面直线所成的角、二面角、直线与平面垂直关系的性质 22.  【答案】(1)  因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ．又因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，所以 ，所以 ，．又因为四边形 是正方形，所以 ．如图，建立空间直角坐标系，因为 ，所以 ，，，，，．因为 ，， 分别为 ，， 的中点，所以 ，，．所以 ，．设 为平面 的一个法向量，则    即    再令 ，得 ，，．设 为平面 的一个法向量，则    即    令 ，得 ，所以所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ．(3)  假设在线段 上存在一点 ，使直线 与直线 所成角为 ．依题意可设 ，其中 ．由 ，则 ．又因为 ，，所以 ．因为直线 与直线 所成角为 ，，所以 ，即 ，解得 ．所以 ，．所以在线段 上存在一点 ，使直线 与直线 所成角为 ，此时 ．【知识点】异面直线所成的角、二面角、空间的平行关系、空间向量的应用