2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角提升练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角提升练习卷（解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何二面角基础（共22题） 一、选择题（共8题）在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为 ，，则这个二面角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  三棱锥 中，平面 与平面 的法向量分别为 ，，若 ，则二面角 的大小为  A．  B．  C． 或  D． 或  在四面体 中，，，二面角 为直二面角， 是 的中点，则 的大小为  A．  B．  C．  D．  如图，在四面体 中， 为等边三角形，，二面角 的大小为 ，则 的取值范围是  A．  B．  C．  D．  如图，在三棱锥 中，，，则二面角 的最大值为  A．  B．  C．  D．  如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，，，，，，则二面角 的大小为  A．  B．  C．  D．  在如图所示的几何体中，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，，，，二面角 的正切值为  A．  B．  C．  D．  在三棱锥 中，二面角 ， 和 的大小均等于 ，，设三棱锥 外接球的球心为 ，直线 与平面 交于点 ，则    A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）给出下列说法其中正确的是  A．两个相交平面组成的图形叫作二面角 B．异面直线 ， 分别和一个二面角的两个面垂直，则 ， 所成的角与这个二面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，，侧面 为正三角形，且 ，则下列说法正确的是  A．在线段 上存在一点 ，使  B．异面直线 与 所成的角为  C．二面角 的大小为  D．  如图，棱长为 的正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则  A．直线 与底面 所成的角为  B．平面 与底面 夹角的余弦值为  C．直线 与直线 的距离为  D．直线 与平面 的距离为  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题（共4题）若两个平面 ， 的法向量分别是 ，，则这两个平面所成的锐二面角的度数是    ． 三棱锥 中，，，，，则二面角 的余弦值为    ． 如图：若正四棱锥 的各棱长均相等， 是正方形 的中心，， 是 的中点，则二面角 的余弦值的大小为    ． 过正方形 的顶点 作线段 ，若 ，则平面 与平面 所成的角为    ． 四、解答题（共6题）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，，， 是 的中点，作 交 于点 ．(1)  证明：；(2)  证明：；(3)  求二面角 的大小． 如图，直三棱柱 中，，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  证明：；(2)  若 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值． 如图，菱形 与矩形 所在平面互相垂直，．(1)  求证：；(2)  若二面角 为直二面角时，求直线 与平面 所成的角 的正弦值． 如图， 是底面边长为 的正三棱锥，点 ，， 分别为棱 ，， 上的点，，且多面体 与棱锥 的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）(1)  证明： 为正四面体；(2)  若 ，求二面角 的大小． 如图，在三棱柱 中，底面 为边长为 等边三角形，，，且 ．(1)  证明：；(2)  求 二面角的余弦值． 如图，在 中，，，． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且 ，动点 在斜边 上．(1)  求证：；(2)  当 为 的中点时，求二面角 的余弦值；(3)  求 与平面 所成的角中最大角的正弦值．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【解析】因为 ，所以这个二面角的余弦值为 或 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 2.  【答案】C【解析】当二面角 为锐角时，其大小为 ；当二面角 为钝角时，其大小为 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 3.  【答案】B【解析】如图，设 ，取 的中点 ，连接 ，，则由题意可得 ，，所以 为二面角 的平面角，且 ，．在 中，易得 ，所以 为正三角形，又因为 是 的中点，所以 ，即 ．【知识点】二面角 4.  【答案】C【解析】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为 为等边三角形，所以不妨设 ，因为 ，所以设 ，因为当 时，，，， 四点共面，不能构成空间四面体，所以 ，则 ，，，所以 ，，．设平面 的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ．设平面 的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 ，，所以 ．因为二面角 的大小为 ，且由题图可知二面角 为锐二面角，所以  因为 ，所以 ，即 ，所以 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 5.  【答案】C【解析】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ，，，由于 ，所以可设 ，因为当 时 ，，， 四点共面，不能构成三棱锥，所以 ，由空间向量的坐标运算可得 ，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，，所以 ，设二面角 的大小为 ，则由图可知，二面角 为锐二面角，所以  因为 ，所以 ，即 ，所以 ．故选C．【知识点】二面角 6.  【答案】C【解析】取 中点 ，连接 ，由已知可得四边形 为正方形，易得 ，， 两两互相垂直，故以点 为原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，，所以 ，，设平面 的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ．设平面 的一个法向量为 ，易得 ，，所以 即 令 ，则 ，所以 ，所以 ．易知二面角 的平面角为钝角，所以二面角 的大小为 ．故选C．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 7.  【答案】D【解析】过点 作 ，连接 ，因为平面 与平面 垂直且 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 即是两平面的二面角．过 作 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，，所以 ，．【知识点】二面角 8.  【答案】D【解析】依题意，如图①，易知点 在平面 内的射影为三角形 内切圆的圆心 ，设内切圆的半径为 ，则 ，解得 ，又二面角 ， 和 的大小均等于 ，所以 ．设 的外接圆圆心为 ，易知 ，又 ，所以 ，故点 ，，， 四点共面，且 ，又 在平面 内，且 在平面 内，所以 在 上，即 ，， 三点共线．现在研究 的长度，过 作 ，交 的延长线于 ，如图②，在图①中，易知 ，，故 ，显然 ，设 ，由 ，即 ，得 ，解得 ，所以 ，所以 ．【知识点】二面角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】对于A，显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误；对于B，因为 ， 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故B正确；对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确．【知识点】二面角 10.  【答案】A；B；C【解析】对于A选项，如图，取 的中点 ，连接 ，，连接 ，，交于点 ．因为侧面 为正三角形，所以 ．又底面 是菱形，，所以 是等边三角形，所以 ．又 ，，所以 ，故A正确．对于B选项，因为 ，所以 ，即异面直线 与 所成的角为 ，故B正确．对于C选项，因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ，，所以 是二面角 的平面角．设 ，则 ，．在 中，，即 ，故二面角 的大小为 ，故C正确．对于D选项，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故D错误．故选ABC．【知识点】二面角 11.  【答案】B；C；D【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，对于 ，，，，平面 的法向量 ，设直线 与底面 所成的角为 ，则 ．所以直线 与底面 所成的角为 ，故A错误；对于 ，，，， ，，设平面 的法向量 ，则 取 ，得 ，设平面 与底面 夹角为 ，则 ，所以平面 与底面 夹角的余弦值为 ，故B正确；对于C，，，，所以直线 与直线 的距离为： ，故C正确；对于D，因为 ，，，所以 ，又 ，平面 的法向量 ，所以直线 与平面 的距离为： ，故D正确．故选：BCD．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】【解析】因为 ，，所以 ，，．所以 ，所以 ，故两平面所成的锐二面角为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 14.  【答案】【解析】作 于 点，由 ，得 ，所以 是 的外心，且是 的中点．取 的中点 ，则 ，，从而 是二面角 的平面角．由 ，，可得 ．【知识点】二面角 15.  【答案】 【解析】连接 ，因为 ，，所以 ，正方形 中，，又 ，，所以 ，又 ，故 ，，所以 为二面角 的平面角，不妨设棱长为 ，容易计算 ，，，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，因此，则二面角 的余弦值的大小为 ．故答案为 ．【知识点】二面角 16.  【答案】 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  连接 交 于点 ，连接 ，在 中，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，，所以 ，，因为 可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中点，所以 ，因为底面 是正方形，所以 ，又 ，，所以 ，而 ，所以 ，又 ， 于 点，，所以 ，所以 ，又 ，且 ，，所以 ．(3)  以 为原点，，， 所在直线为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，设 ，则 ，，，设平面 的一个法向量为 ，由（Ⅱ）中 ，可得 为平面 的一个法向量，可取 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，，因为   取 ，则  ，所以二面角 的大小为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定 18.  【答案】(1)  由已知得：，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ， 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ．(2)   ，所以 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，所以 ，，，则 ，，设 为平面 的一个法向量，则 得 ，平面 的法向量为 ，所以 ，所以 ，所以，平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 19.  【答案】(1)  因为 ，，，所以 ，同理 ，，，，所以 ，，所以 ．(2)  取 的中点 ，连接 交 于点 ，由于 ，，所以 ，，  就是二面角 的平面角，当二面角 为直二面角时，，由 ，欲求直线 与平面 所成的角，先求 与 所成的角，连接 ，设 ，则在 中，，， ．【知识点】二面角、线面角 20.  【答案】(1)  因为多面体 与棱锥 的棱长和相等，所以 ．又因为 ，所以 ，，所以 是正四面体．(2)  取 的中点 ，连接 ，，．因为 ，，所以 ，所以 ，则 为二面角 的平面角．由（）知， 的各棱长均为 ，所以 ，由 是 的中点，则 ，得 ，所以 ．【知识点】二面角、棱锥的结构特征 21.  【答案】(1)  过点 在平面 内作 的垂线，垂足为 ，连接 ，因为 ，，，所以 ，因为 ，所以 ，由题可知 ，在 中，因为 ，，，所以 ，在 中，因为 ，，，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，因为 ，所以 ．(2)  由（Ⅰ）知 ，， 两两垂直，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，因为 ，，，，，所以 ，，，，，， ，，，，设 是平面 的法向量，则 取 ，得 ，设 是平面 的法向量，则 取 ，得 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ． 【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、平面与平面垂直关系的判定、二面角 22.  【答案】(1)  在 中，，因为 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ．(2)  如图建立空间直角坐标系 ，因为 为 的中点，所以 ，，，，，所以 ，，，，设 为平面 的法向量，所以 即 令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量，设 为平面 的法向量，所以 即 令 ，则 ，，所以 是平面 的一个法向量，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．(3)  解法一：因为 ，所以 为 与平面 所成的角，因为 ，所以点 到直线 的距离最小时， 的正弦值最大，即当 时， 的正弦值最大，此时 ，所以 ，所以 ．解法二：设 ，所以 ． ，平面 的法向量 ，所以 ，所以当 时， 与平面 所成的角最大，．【知识点】二面角、平面与平面垂直关系的判定、线面角