2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积巩固练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--表面积与体积巩固练习卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何表面积与体积巩固（共22题） 一、选择题（共8题）如图所示，正方体 的棱长为 ，则三棱锥 的体积是  A．  B．  C．  D．  某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 ，则该几何体的体积为  A．  B．  C．  D．  如图所示，圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，在圆锥上方嵌入一个半径为 的球，使圆锥的母线与球面相切，切点为圆锥母线的端点，则该球的表面积为  A．  B．  C．  D．  已知三棱锥 中，，，，，，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为  A．  B．  C．  D．  在等腰梯形 中，，， 为 的中点，将 与 分别沿 ， 向上折起，使 ， 重合为点 ，则三棱锥 的外接球的体积为  A．  B．  C．  D．  一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为  A．  B．  C．  D．  已知棱长为 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为  A． B． C． D． 母线长为 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于     A． B． C． D． 二、多选题（共4题）设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为 ，若某正方体的所有顶点均在外球面上，所有面均与内球相切，则  A．该正方体的核长为  B．该正方体的体对角线长为  C．空心球的内球半径为  D．空心球的外球表面积为  已知四棱台 的上、下底面均为正方形，其中 ，，，则下列叙述正确的是  A．该四棱台的高为  B．  C．该四棱台的表面积为  D．该四棱台外接球的表面积为  已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 ，，若线段 的最小值为 ，则  A．正方体的外接球的表面积为  B．正方体的内切球的体积为  C．正方体的棱长为  D．线段 的最大值为  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题（共4题）半径为 的球的表面积为    ． 表面积相等的球和正方体的体积比为    ． 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为    ． 已知 ，，， 是球 表面上的点，，， , ，则球 的表面积等于     四、解答题（共6题）如图，正方体 的棱长为 ．(1)  求证：；(2)  求三棱锥 的体积． 如图， 是圆柱的一条母线， 是圆柱的底面直径， 在圆柱下底面圆周上， 是线段 的中点．已知 ，．(1)  求圆柱的侧面积；(2)  求证：． 如图，在四棱锥 中，等边三角形 所在的平面垂直于底面 ，．， 是棱 的中点．(1)  求证：；(2)  求三棱锥 的体积；(3)  过 做平面 与平面 平行，设平面 截四棱锥 所得截面面积为 ，试求 的值． 如图， 是以 为直径的半圆弧上异于 ， 的点，矩形 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且 ．(1)  求证：；(2)  设平面 与半圆弧的另一个交点为 ．①求证：；②若 ，求三棱锥 的体积． 如图，四棱锥 的底面是矩形，， 为的中点，且 ．(1)  证明：；(2)  若 ，求四棱锥 的体积． 如图，在三棱锥 中，，， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．(1)  证明：；(2)  求三棱锥 的体积；(3)  在 的平分线上确定一点 ，使得 ，并求此时 的长．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】A【解析】三棱锥 的体积 ．【知识点】棱锥的表面积与体积 2.  【答案】B【知识点】三视图、棱柱的表面积与体积 3.  【答案】D【知识点】组合体、球的表面积与体积 4.  【答案】C【解析】已知 ，，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是其外接球的内接正方体的体对角线．因为 ，，，所以三棱锥外接球的直径为 ，所以外接球的内接正方体的体对角线长为 ，所以正方体的棱长为 ，所以正方体的体积为 ．【知识点】球的表面积与体积、组合体 5.  【答案】D【知识点】球的表面积与体积 6.  【答案】B【知识点】由三视图还原空间几何体、圆柱的表面积与体积 7.  【答案】D【解析】如图，由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过 点的三个面相切且切点分别在线段 ，， 上，设线段 上的切点为 ，，圆柱上底面的圆心为 ，半径即为 ，记为 ，则 ，，由 知，，则圆柱的高为 ， 【知识点】圆柱的表面积与体积 8.  【答案】D【解析】  如图设 ，则 ，，体积为 ，因为 ，所以 ，故 ，当 时，即 时，“ ” 成立，有弧长公式得 ，所以 ．【知识点】表面积与体积、展开图 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】设内外球半径分别为 ，，则正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，所以 ，又由题知 ，所以 ，，所以正方体棱长为 ，体对角线长为 ，所以外接球表面积为 ．【知识点】球的表面积与体积、组合体 10.  【答案】A；D【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥 ，并取 ， 分别为 ， 的中点，记四棱台上、下底面中心分别为 ，，连接 ，，，，，，，．由条件知 ，，， 分别为四菱锥的侧棱 ，，， 的中点，则 ，，所以 ，故该四棱台的高为 ，故A正确；由 ，，得 为正三角形，则 与 所成角为 ，故B不正确；四棱台的斜高 ，所以该四棱台的表面积为 ，故C不正确；易知 ，所以 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为 ，外接球表面积为 ，故D正确．【知识点】棱台的表面积与体积、球的表面积与体积 11.  【答案】A；B；C【解析】设正方体的棱长为 ，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即 ，内切球为棱长的一半，即 ，由于 和 为外接球和内切球上的动点，对于C：所以 ，解得 ，故C正确；对于A：所以外接球的表面积为 ，故A正确；对于B：内切球的体积为 ，故B正确；对于D：线段 的最大值为 ，故D错误．【知识点】球的表面积与体积、组合体 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】球的表面积与体积 14.  【答案】 【知识点】表面积与体积、棱柱的表面积与体积 15.  【答案】  【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示．其中 ，，且点 为 边上的中点，设内切圆的圆心为 ．由于 ，故 ，设内切圆半径为 ，则：  解得：，其体积：．【知识点】球的表面积与体积 16.  【答案】【解析】因为 ，，所以四面体 的外接球的半径 等于以长宽高分别为 ，， 三边长的长方体的外接球的半径，因为 , ，所以 ，所以球 的表面积 ．【知识点】典型空间几何体、球的结构特征、球的表面积与体积 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为四棱柱 为正方体，所以 ．因为 ，所以 ．因为底面 为正方形，所以 ．因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ．(2)  易知 ．因为 ，所以 是三棱锥 的高．因为 ，所以三棱锥 的体积为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积 18.  【答案】(1)  因为 ，，，所以 ，所以圆柱的侧面积为 ．(2)  因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．【知识点】直线与平面垂直关系的性质、圆柱的表面积与体积 19.  【答案】(1)  因为 ，所以 ．又 ，且 ，所以 ． (2)  由（Ⅰ）知，．因为 是边长为 的等边三角形，且 为 的中点，所以 ．则 ． (3)  如图，在平面 中，过 作 ，交 于 ，则 为 中点．在平面 中，过 作 ，交 于 ，连接 ，则 为过 与平面 平行的平面 ．因为 ，，则 ，得 ．因为 ，，所以截面 的面积为 ． 【知识点】棱锥的表面积与体积、平面与平面垂直关系的性质、直线与平面平行关系的性质、直线与平面垂直关系的性质 20.  【答案】(1)  因为 是半圆上异于 ， 的点，所以 ，又因为平面 ，且 ，由面面垂直性质定理得 ，又 ，所以 ．因为 ，所以 ．又 ，所以 ． (2)  ①由 ，得 ，又因为平面 ，所以根据线面平行的性质定理得 ，又 ，所以 ．② ． 【知识点】空间中直线与直线的垂直、棱锥的表面积与体积、直线与平面平行关系的性质 21.  【答案】(1)  因为 ，，所以 ，又 ，，所以 ，而 ，所以 ．(2)  由（）可知，，所以 ，从而 ，设 ，，则 ，即 ，解得 ，所以 ．因为 ，故四棱锥 的体积为 ．【知识点】棱锥的表面积与体积、平面与平面垂直关系的判定 22.  【答案】(1)  因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ．由三视图可得，在 中，， 为 中点，所以 ，所以 ．(2)  由三视图可得 ，由（1）知 ，，又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，所以所求三棱锥的体积 ．(3)  取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求．因为 为 中点，所以 ，因为 ，，所以 ，连接 ，，四边形 的对角线互相平分，所以 为平行四边形，所以 ，又 ，所以在直角 中，．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、空间线段的长度