2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--空间位置关系提升练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--空间位置关系提升练习卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何空间位置关系提升（共22题） 一、选择题（共8题）在正方体 中，与 垂直的平面是  A．平面  B．平面  C．平面  D．平面  已知直线 ， 与平面 ，，，，则下列命题中正确的是  A．若 ，则必有  B．若 ，则必有  C．若 ，则必有  D．若 ，则必有  如下图，在正四棱柱 中，， 分别是 ， 的中点，则以下结论中不成立的是  A． 与 垂直 B． 与 垂直 C． 与 异面 D． 与 异面 已知 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，给出下列命题：①若 ，，，则 ；②若 ，，，则 或 ；③若 ，，，则 或 ；④若 ，，，，则 且 ．其中正确命题的序号是  A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 设 ，， 是三条不同的直线，， 是两个不重合的平面，给定下列命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中真命题的个数为  A．  B．  C．  D．  在长方体 中，， 为棱 的中点，则  A．  B．  C．  D．  如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是     A． B． C． D． 若点 为点 在平面 上的正投影，则记 ．如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 ， 不重合），，．给出下列三个结论：  线段 长度的取值范围是 ；  存在点 使得 ；  存在点 使得 ．其中，所有正确结论的序号是  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ， 且 ，则当 ， 移动时，下列结论正确的是  A．  B．四面体 的体积不为定值 C．三棱锥 的体积为定值 D．四面体 的体积为定值 如图所示，在直角梯形 中，，， 分别是 ， 上的点，，且 （如图 ①）．将四边形 沿 折起，连接 ，，（如图 ②）．在折起的过程中，下列说法中正确的是  A．  B． ，，， 四点不可能共面 C．若 ，则  D．平面 与平面 可能垂直 在正方体 中，点 是 上一动点．下列说法正确的是  A．直线 与 的夹角为  B．  C． 的周长存在最小值 D．三棱锥 的体积为定值 如图所示，在直角梯形 中，，， 分别是 ， 上的点，且 ，（如图（）），将四边形 沿 折起，连接 ，，（如图（））．在折起的过程中，下列说法中错误的是  A．  B． ，，， 四点可能共面 C．若 ，则  D．平面 与平面 可能垂直 三、填空题（共4题）已知 和 是异面直线，且 ，，，，则平面 与 的位置关系是    ． 过三棱柱 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 平行的直线共有    条． 已知 垂直于平行四边形 所在的平面，若 ，则平行四边形 一定是    ． 如图，正方体 的棱长为 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，有下面三个结论：① 是 的中心；② 垂直于平面 ；③直线 与直线 所成的角是 ．其中正确结论的序号是    ． 四、解答题（共6题）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ，．证明：(1)  当 时，；(2)  点 在平面 内． 在长方体 中，，， 分别为所在棱的中点，， 分别为 ， 的中点，连 ，，，，，．（）求证：．（）问在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点的位置．若不存在，请说明理由． 如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求证：；(2)  求三棱锥 的体积． 如图，直三棱柱 中，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  证明：；(2)  求三棱锥 的高． 如图，已知四边形 为梯形，，，四边形 为矩形，且 ，又 ，．(1)  证明：；(2)  求点 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 ，且 ，， 分别为 ， 的中点．(1)  求证：；(2)  求证：面 ；(3)  在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？说明理由．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】B【解析】如图，在正方体 中，易知 ，．又 ，所以 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定 2.  【答案】C【解析】对于选项A，平面 和平面 还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面 和平面 还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为 ，，所以 ．所以选项C正确；对于选项D，直线 可能和平面 不垂直，所以选项D错误．【知识点】空间的平行关系、空间的垂直关系 3.  【答案】D【解析】如图所示，连接 ，由几何关系可得点 为 的中点，且 ，由三角形中位线的性质可得：，即 与 不是异面直线，很明显， 与 异面，由几何关系可得：，，则 ，，综上可得，选项D中的结论不成立.．本题选择D选项．【知识点】直线与直线的位置关系 4.  【答案】C【解析】由 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，知：在①中，若 ，，，则由面面垂直的判定定理得 ，故①正确；在②中，若 ，，，则 有可能与 ， 都不垂直，故②错误；在③中，若 ，，，则 与 相交或平行，即 与 有可能相交但不垂直，故③错误；在④中，若 ，，，，则由线面平行的性质定理得 且 ，故④正确．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定 5.  【答案】B【解析】对于①，因为 可以在平面 内，所以错误；对于②，因为根据线面垂直的判定定理知，当一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直时，才能推出线面垂直，所以错误；对于③，易知结论正确；对于④，因为直线 和 可以是异面的成任意夹角的两条直线，所以错误；对于⑤，根据线面垂直的判定定理知结论正确；对于⑥，因为当直线 与直线 都和平面 平行并且和平面 垂直时，两条直线互相平行，所以错误．【知识点】空间的平行关系、空间的垂直关系 6.  【答案】B【解析】连接 ，，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ．【知识点】空间中直线与直线的垂直 7.  【答案】B【解析】如图，分别取 、 中点 、 ，连接 、 、 ，则 ，所以点 一定在 上，当 位于 或 时， 最大为 ；当 位于 中点 时， 最小为 ．【知识点】空间的平行关系、空间线段的长度 8.  【答案】D【知识点】空间线段的长度、直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 二、多选题（共4题）9.  【答案】A；C；D【知识点】直线与平面平行关系的判定、棱锥的表面积与体积 10.  【答案】A；B；C【解析】在A中，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，易证明四边形 是平行四边形，即 ，又 ，所以 ，所以A正确；在B中，设 ，，， 四点共面，因为 ，，所以 ，可推出 ，所以 ，这与已知相矛盾，故 ，，， 四点不可能共面，所以B正确；在C中，连接 ，，在梯形 中，易得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，则 ，所以C正确；在D中，延长 至 ，使得 ，连接 ，，易得 ，过 作 于 ，则 ，若 ，则过 作直线与平面 垂直，其垂足在 上，前后矛盾，故D错误.故选ABC.【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定 11.  【答案】B；C；D【解析】由题图可知 ，所以 ，故选项A错误；易得 ，又因为 ，所以 ，故选项B正确；易知当 位于 的中点时， 最小，则 的周长最小，故选项C正确；因为 ，所以点 到平面 的距离为定值，又 的面积为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故选项D正确，故选BCD．【知识点】空间的垂直关系 12.  【答案】B；D【解析】对于A，如图（），连接 ， 并交于点 ，取 的中点 ，连接 ，．由题意得 ，，，，则 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ．因为 ，，所以 ，故A正确．对于B，假设 ，，， 四点共面．由题可知四边形 为矩形，则 ．因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ．又 ，所以 ，四边形 为平行四边形，与已知矛盾，故假设不成立．故B错误．对于C，如图（），在梯形 中，连接 ．因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ．又 ，，所以 ，即有 ．又 ， 与 必有交点，所以 ．又因为 ，所以 ，故C正确．对于D，如图（），延长 至点 ，使得 ，连接 ，．因为 ，，，所以 ．又 ，所以 ．因为 ，所以 ．易知 ，，，，所以 ，，所以 ，，， 四点共面．过点 作 ，垂足为 ．因为 ，所以 ．又 ，所以 ，，所以 ．假设 ，因为 ，所以过点 作直线与平面 垂直，其垂足在 上，故假设不成立．故D错误．故选BD．【知识点】直线与平面平行关系的判定、点、线、面的位置关系、平面与平面垂直关系的判定 三、填空题（共4题）13.  【答案】平行【解析】在 上任取一点 ，则直线 与点 确定一个平面 ．设 ，则 ，且 ．因为 ，所以 ．又因为 ，所以根据面面平行的判定定理可得 ．【知识点】平面与平面平行关系的判定 14.  【答案】 【解析】如图所示，与平面 平行的直线有 条：，，，，，．【知识点】直线与平面平行关系的判定 15.  【答案】菱形【解析】如图，因为 ，，所以 ，又 ，，所以 ．又 ，所以 ，所以平行四边形 为菱形．【知识点】直线与平面垂直关系的性质 16.  【答案】①②③【解析】连接 ，，．因为 ，，所以 ，所以 ．又因为 是等边三角形，所以 是 的中心，所以①正确．因为 ，，，，所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ．又因为 ． 所以 ．同理可证 ．又因为 ，所以 ．又因为 垂直于平面 ，所以 垂直于平面 ．所以②正确．连接 ，，，因为四边形 是正方形，所以 ．因为 ，，所以 ．又因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ，所以直线 与 所成的角是 ．所以③正确．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、异面直线所成的角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  如图，连接 ，，因为 ，所以四边形 为正方形，故 ，又因为 ，所以 ，所以 ，由于 ，所以 ．(2)  如图，在棱 上取点 ，使得 ，连接 ，，．因为 ，，，，所以 ，，于是四边形 为平行四边形，故 ，因为 ，，，，所以 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ，，，，所以四边形 为平行四边形，故 ，于是 ，所以 ，，， 四点共面，即点 在平面 内．【知识点】平面的概念与基本性质、直线与平面垂直关系的判定 18.  【答案】（Ⅰ）．长方体 故 ，又 ，，故 ，同理 ，又 ，故 ．（Ⅱ）当 为线段 上靠近 的三等分点时，有 ．证明如下：设 ，则 为 的重心，故 ，又 ，，故 ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面平行关系的判定 19.  【答案】(1)  取 的中点 ，连接 ，，因为 是 的中点，所以 ，，因为 是 的中点，且 ，所以 ，，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，，所以 ，所以  【知识点】直线与平面平行关系的判定、棱锥的表面积与体积 20.  【答案】(1)  由已知，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ， 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ．(2)  设三棱锥 的高为 ，因为 ，，所以 ，由 ，，，得 ，所以 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，所以三棱锥 的高为 ．【知识点】平面与平面垂直关系的性质、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 21.  【答案】(1)  因为四边形 为矩形，且 ，所以 ，，则 ，，在梯形 中，，，，从而 ，，得 ，在 中，，，，可知 ，所以 ，在 中，，，，可知 ，所以，，又 ，故 ．(2)  在 中，，则 ，故 ，在 中，，，故等腰三角形 的边 上的高为 ，故 ，设点 到平面 的距离为 ，故有 ，得 ，故点 到平面 的距离为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 22.  【答案】(1)  连接 ， 为正方形，  为 中点， 为 中点．所以在 中，，且 ， 所以 ．(2)  因为 ，    为正方形，， 所以 ．所以 ，又 ，所以 是等腰直角三角形，且 即  ，且 所以 又 ，所以 ．(3)  如图，取 的中点 ，连接 ，．因为 ，所以 ．因为 ， ，所以 ，而 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，又 是正方形，故 ．因为 ，所以 ，．以 为原点，直线 ，， 分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则有 ，， ，．若在 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，连接 ， 设 ．由(2) 知平面 的法向量为 ．设平面 的法向量为 ．因为 ，，所以由 ， 可得 ，令 ，则 ，，故 ，所以 ，解得，．所以，在线段 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角、直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定