人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步测试题，共16页。试卷主要包含了已知函数f=2-2sin22x等内容，欢迎下载使用。

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
5.6.2　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
基础过关练
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　三角函数图象的变换和作法
1.(2020广东湛江高一下期末)将函数y=sin2x-π3的图象向右平移π12个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为 (　　)
A.y=sin2x-π6 B.y=-sin2x-π6
C.y=cos 2x D.y=-cos 2x
2.(2020福建泉州高一下期末)要得到函数y=cosx2-π4的图象,只需将y=cos x2的图象 (　　)
A.向右平移π4个单位长度
B.向左平移π4个单位长度
C.向右平移π2个单位长度
D.向左平移π2个单位长度
3.(2020山东聊城高一下期末质量检测)为了得到函数y=cos2x+π4的图象,可作如下变换,其中正确的是 (　　)
A.将y=cos x的图象上的所有点向左平移π4个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变
B.将y=cos x的图象上的所有点向右平移π4个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C.将y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,然后将所得图象上的所有点向左平移π4个单位长度
D.将y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,然后将所得图象上的所有点向左平移π4个单位长度
4.函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的简图是 (　　)



5.(2020辽宁营口二中高一下期末)已知函数y=3sin2x-π3.
(1)用五点作图法在下面坐标系中作出上述函数在π6,7π6上的图象;图中每个小矩形的宽度为π12
(2)函数y=3sin2x-π3的图象可以由函数y=sin x的图象怎样变换而来?










6.(2020山东淄博桓台一中高一下期中)已知函数f(x)=(sin 2x+cos 2x)2-2sin22x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π8个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,当x∈0,π4时,求y=g(x)的最大值和最小值.







题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用
7.(2020辽宁锦州高一下期末)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 (　　)

A. f(x)=2sin2x-π6 B. f(x)=2sin2x-π3
C. f(x)=2sin2x+π6 D. f(x)=2sin12x+π3
8.(2020河南南阳高一下期末)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能值为 (　　)
A.-5π4 B.-3π4 C.-π4 D.-3π8
9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<π2,则 (　　)

A.A=4 B.ω=1 C.φ=-π3 D.B=4
10.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象如图所示, fπ2=-23,则f(0)= (　　)

A.-23 B.-12 C.23 D.12
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π2<φ<π2在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值;
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间.







12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).
(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.










能力提升练
题组一　三角函数图象的变换和作法
1.(2020吉林五地六校高一上期末,)要得到函数y=2cos x的图象,只需将函数y=2cos2x+π4的图象上所有的点 (　　)
A.横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平行移动π4个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平行移动π4个单位长度
C.横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平行移动π8个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平行移动π8个单位长度
2.(2020北京一零一中学高一上期末,)已知函数f(x)=sinωx+π4(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图象,只需将函数g(x)=sin ωx的图象 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.向左平移π8个单位长度 　B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度 　D.向右平移π4个单位长度
3.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)要得到一个奇函数的图象,只需将函数f(x)=sin 2x-3cos 2x的图象 (　　)
A.向左平移π4个单位长度
B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π4个单位长度
D.向左平移π3个单位长度
4.(2020河南郑州高一下期末,)若点Aπ6,1在函数f(x)=cos(2x+φ)|φ|<π2的图象上,为了得到函数y=sin2x+π3(x∈R)的图象,只需把曲线f(x)上所有的点 (　　)
A.向左平移π3个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向右平移π12个单位长度
D.向左平移π12个单位长度
5.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知函数y=f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2,且直线x=π8是其图象的一条对称轴.
(1)求ω,φ的值;
(2)在图中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(3)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π16个单位长度,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.













题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用
6.(2020山东聊城高一下期末质量检测,)用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象时,得到如下表格:
x
π6

2π3


ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y
0
4
0
-4
0
则A,ω,φ的值分别为 (　　)
A.4,2,-π3 B.4,12,π3 C.4,2,π6 D.4,12,-π6
7.(2020浙江丽水高一下期末,)已知函数f(x)=3sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是 (　　)
A.函数g(x)在π4,π2上是增函数
B.函数g(x)的图象关于直线x=-π4对称
C.函数g(x)是奇函数
D.函数g(x)的图象关于点π6,0中心对称
8.(2020四川攀枝花高一上教学质量监测,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则下列有关f(x)性质的描述正确的是 (　　)

A.π12+kπ2,7π12+kπ2(k∈Z)为其单调递减区间
B. f(x)的图象向左平移π12个单位长度后对应图象的函数为偶函数
C.φ=2π3
D.x=π6+kπ(k∈Z)为其图象的对称轴方程
9.(多选)(2020山东菏泽高一上期末,)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移π6个单位长度后,得到的图象对应的函数g(x)为偶函数,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(0)=12
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=π6对称
C.函数y=f(x)的图象关于点5π12,0对称
D.函数y=f(x)的图象关于直线x=π12对称


10.(2020河南郑州高一下期末,)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则φ的值为　　　　. 

11.()函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将f(x)的图象向右平移12个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)=a-1在x∈0,7π4上有两个解,求a的取值范围.








12.(2020辽宁辽阳高一下期末,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.
(1)求A,ω和φ的值;
(2)求函数y=f(x)在[1,2]上的单调递减区间;
(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,求b-a的取值范围.


答案全解全析
基础过关练
1.D　将函数y=sin2x-π3的图象向右平移π12个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为y=sin 2x-π12-π3=sin2x-π2=-cos 2x.故选D.
2.C　 ∵y=cosx2-π4=cos12x-π2,
∴要得到函数y=cosx2-π4的图象,只需将y=cos x2的图象向右平移π2个单位长度.故选C.
3.A　为得到y=cos2x+π4的图象,可将y=cos x的图象上的所有点向左平移π4个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变而得到;
也可以将y=cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,然后将所得图象上的所有点向左平移π8个单位长度而得到.故选A.
4.A　当x=0时,y=sin-π3=-32<0,故可排除B、D;当x=π6时,y=sin2×π6-π3=sin 0=0,排除C.故选A.
5.解析　(1)因为x∈π6,7π6,所以2x-π3∈[0,2π],
列表如下:
x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
2x-π3
0
π2
π
3π2
2π
y=3sin2x-π3
0
3
0
-3
0
描点、连线,得到图象如下:

(2)把y=sin x的图象向右平移π3个单位长度,可得y=sinx-π3的图象;再把y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,可得y=sin2x-π3的图象;最后把y=sin2x-π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,可得y=3sin2x-π3的图象.
6.解析　(1)f(x)=(sin 2x+cos 2x)2-2sin22x=2sin4x+π4,
所以函数f(x)的最小正周期为2π4=π2.
(2)依题意得y=g(x)=2sin 4x-π8+π4+1=2sin4x-π4+1,
因为0≤x≤π4,所以-π4≤4x-π4≤3π4.
当4x-π4=π2,即x=3π16时,g(x)取最大值,为2+1;
当4x-π4=-π4,即x=0时,g(x)取最小值,为0.
7.A　由题图可得A=2,12·2πω=π3+π6,
∴ω=2.
由五点作图法,可得2×π3+φ=π2,
∴φ=-π6,
故f(x)=2sin2x-π6,故选A.
8.B　函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后,得到函数y=sin2x+π8+φ=sin2x+π4+φ的图象,因为此函数是偶函数,所以π4+φ=kπ+π2(k∈Z)⇒φ=kπ+π4(k∈Z).
对于选项A:φ=kπ+π4=-5π4⇒k=-32∉Z,不符合题意;
对于选项B:φ=kπ+π4=-3π4⇒k=-1∈Z,符合题意;
对于选项C:φ=kπ+π4=-π4⇒k=-12∉Z,不符合题意;
对于选项D:φ=kπ+π4=-3π8⇒k=-58∉Z,不符合题意.故选B.
9.C　由题中图象可得A=f(x)max-f(x)min2=4-02=2,B=f(x)max+f(x)min2=4+02=2,A、D选项均错误;函数f(x)的最小正周期T=4×5π12-π6=π,∴ω=2πT=2,B选项错误;由以上可知f(x)=2cos(2x+φ)+2,将点π6,4代入函数f(x)的解析式,得
2cos2×π6+φ+2=4,
可得cosπ3+φ=1,
∵-π2<φ<π2,∴-π6<π3+φ<5π6,∴φ+π3=0,可得φ=-π3,C选项正确.故选C.
解题模板　已知余弦型函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0）的部分图象,求其解析式的方法:A=f(x)max-f(x)min2,B=f(x)max+f(x)min2;根据图象找到周期,利用ω=2πT求得ω的值;利用“五点”中的已知点,结合φ的取值范围,求得φ的值,进而得到解析式.
10.C　由题图可知函数f(x)的最小正周期为2×11π12-7π12=2π3,故ω=3.将11π12,0代入解析式,得Acos3×11π12+φ=0,故114π+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-π4+2(k-1)π(k∈Z).令φ=-π4,则f(x)=Acos3x-π4,
又fπ2=-Acosπ4=-23,故A=223.
所以f(0)=223cos-π4=223cosπ4=23,故选C.
11.解析　(1)由题图知14T=π12--π6=π4,∴函数f(x)的最小正周期T=π.由题图知f(x)的最大值为1,最小值为-1.
(2)由(1)知ω=2πT=2.由题意得2×-π6+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ+π3,k∈Z,又-π2<φ<π2,∴φ=π3,则f(x)=sin2x+π3.令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间是kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).
12.解析　(1)由题意作出f(x)的简图如图.

由图象知A=2,由T2=2π,得T=4π,
∴4π=2πω,即ω=12,
∴f(x)=2sin12x+φ,
∴f(0)=2sin φ=1,即sin φ=12,又∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=2sin12x+π6.
∵f(x0)=2sin12x0+π6=2,
∴12x0+π6=π2+2kπ,k∈Z,
∴x0=4kπ+2π3,k∈Z,
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,
∴x0=2π3.
(2)令-π2+2kπ≤12x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-4π3+4kπ≤x≤2π3+4kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为-4π3+4kπ,2π3+4kπ(k∈Z).
能力提升练
1.B　将函数y=2cos2x+π4的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=2cosx+π4的图象,再将所得图象向右平行移动π4个单位长度,可得函数y=2cos x的图象,故选B.
2.A　由f(x)的最小正周期是π,得ω=2,即f(x)=sin2x+π4=sin2x+π8,因此它的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移π8个单位长度得到.故选A.
3.B　由题意得f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-π3,
设f(x)的图象向左(右)平移|φ|个单位长度得到函数f(x+φ)的图象,
则f(x+φ)=2sin2x+2φ-π3,若函数f(x+φ)为奇函数,
则2φ-π3=kπ,k∈Z,即φ=kπ2+π6,k∈Z,
结合选项,当k=0时,φ=π6,
即只需将函数f(x)=sin 2x-3cos 2x的图象向左平移π6个单位长度即可,故选B.
4.D　若点Aπ6,1在函数f(x)的图象上,
则fπ6=cosπ3+φ=1,
即π3+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-π3+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,故φ=-π3,
所以f(x)=cos2x-π3.
又y=sin2x+π3=cos2x+π3-π2=cos2x-π6=cos2x+π12-π3,
所以只需将f(x)的图象向左平移π12个单位长度,即可得到y=sin2x+π3(x∈R)的图象,故选D.
易错警示　三角函数的图象变换必须是同名函数才可以,若变换前后的函数名称不同,则要选择合适的诱导公式将其化为同名函数,再分析自变量的变化关系,得到变换的结果.
5.解析　(1)∵f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴f(x)的最小正周期T=π,∴2πω=π,因此ω=2.
∵直线x=π8是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,
∴sin2×π8+φ=±1,
∴π4+φ=kπ+π2,k∈Z.
∵-π<φ<0,
∴φ=-3π4.
(2)由(1)知y=f(x)=sin2x-3π4,可列表如下:
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
2x-3π4
-3π4
-π2
0
π2
π
5π4
y
-22
-1
0
1
0
-22
描点,画图如下:

(3)由y=f(x)=sin2x-3π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin4x-3π4的图象,再将所得图象向左平移π16个单位长度,得到y=sin4x+π16-3π4=sin4x-π2=-cos 4x的图象,因此g(x)=-cos 4x,
令2kπ+π≤4x≤2kπ+2π,k∈Z,
得kπ2+π4≤x≤kπ2+π2,k∈Z,
∴函数y=g(x)的单调递减区间为kπ2+π4,kπ2+π2,k∈Z.

6.A　由题表中y的最大值为4,最小值为-4,可得A=4,
由2π3-π6=12T,得T=π,∴ω=2ππ=2,
∴y=4sin(2x+φ),∵其图象过点π6,0,
∴0=4sinπ6×2+φ,∴π6×2+φ=2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ-π3(k∈Z),
∵|φ|<π2,∴当k=0时,φ=-π3.故选A.
7.A　∵f(x)=3sin ωx+cos ωx=2sinωx+π6,∴2πω=π,得ω=2,
因此f(x)=2sin2x+π6,
∴g(x)=2sin2x-π3+π6=-2cos 2x,
对于A,由x∈π4,π2,得2x∈π2,π,此时y=cos 2x单调递减,则函数g(x)单调递增,故A正确;对于B,令2x=kπ,k∈Z,得x=kπ2,k∈Z,故B错误;对于C,g(-x)=-2cos(-2x)=-2cos 2x=g(x),则函数g(x)是偶函数,故C错误;对于D,令2x=π2+kπ,k∈Z,得x=π4+kπ2,k∈Z,当x=π6时,k=-16∉Z,故D错误.故选A.
8.B　由题图可知,函数的最小值为-1,∴A=1.
∵T4=7π12-π3=π4,∴T=π,∴ω=2πT=2,
∴f(x)=sin(2x+φ).
又函数图象过点7π12,-1,
∴sin7π6+φ=-1.
∵0<φ<π,∴φ=π3,∴f(x)=sin2x+π3,
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z,
得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z,
故其单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z,令2x+π3=kπ+π2,k∈Z,得x=π12+kπ2,k∈Z,故其图象的对称轴方程为x=π12+kπ2(k∈Z), f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象对应的解析式为y=sin2x+π12+π3=cos 2x,是偶函数.故选B.
9.ABC　由T=2πω=π,得ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ).其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)=fx+π6=sin2x+π3+φ.
由g(x)是偶函数,知π3+φ=π2+kπ,k∈Z,
又-π2<φ<π2,∴φ=π6.
因此f(x)=sin2x+π6.
∴f(0)=sinπ6=12,A正确; fπ6=sinπ2=1,是最大值,B正确; f5π12=sin π=0,C正确;fπ12=sinπ3=32≠±1,D错误.故选ABC.
10.答案　5π6
解析　由题图可得f(0)=sin φ=12,
∵0<φ<π,∴φ=5π6或φ=π6,
由于x=0在函数f(x)的单调递减区间内,所以取φ=5π6,故答案为5π6.
易错警示　根据三角函数的图象求参数的值,常用代入法求解,判定φ的取值时,不仅要依据题中所给的范围,还要利用图象结合函数的单调性取值.
11.解析　(1)由题图得T=2=2πω,∴ω=π.
∴f(x)=cos(πx+φ),
∵f34=cos3π4+φ=-1,
∴3π4+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=π4+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,∴φ=π4.∴f(x)=cosπx+π4.
令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π,k∈Z,
解得2k-14≤x≤2k+34,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间为2k-14,2k+34,k∈Z.
(2)将f(x)的图象向右平移12个单位长度得到y=cosπx-12+π4=sinπx+π4的图象,再将y=sinπx+π4图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=sinx+π4的图象.若g(x)=a-1在x∈0,7π4上有两个解,则y=a-1与y=sinx+π4的图象在x∈0,7π4上有两个不同的交点,
所以22≤a-1<1或-1 所以a的取值范围为0 12.解析　(1)由题图可得A=1,T=2×43-13=2,则ω=2πT=π,
当x=56时,f(x)取得最大值,则56π+φ=π2+2kπ(k∈Z),
所以φ=-π3+2kπ(k∈Z),
又因为|φ|<π2,所以φ=-π3.
(2)由(1)可知f(x)=sinπx-π3,
令π2+2kπ≤πx-π3≤3π2+2kπ,k∈Z,
解得56+2k≤x≤116+2k,k∈Z.
故f(x)的单调递减区间为56+2k,116+2k(k∈Z),
取k=0,可得f(x)在[1,2]上的单调递减区间为1,116.
(3)令f(x)=sinπx-π3=0,则πx-π3=kπ,k∈Z,解得x=k+13,k∈Z,
所以f(x)在13,73上有两个零点,
因为f(x)的最小正周期为2,
所以若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2 020个零点,则1 009×2+1≤b-a<1 010×2+1,故b-a的取值范围为[2 019,2 021).