【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.6 函数y=Asin (ωx+φ) 同步练习（含解析）

这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.6 函数y=Asin (ωx+φ) 同步练习（含解析），共9页。试卷主要包含了基础巩固，能力提升等内容，欢迎下载使用。

《第六节　函数y=Asin (ωx+φ)》同步练习
一、基础巩固
知识点1　三角函数图象的变换
1.要得到函数y=2sin (x+π6)的图象,只需要将函数y=3sin x的图象上所有点的(　　)
A.纵坐标变为原来的32倍(横坐标不变),再向右平移π6个单位长度
B.纵坐标变为原来的32倍(横坐标不变),再向左平移π6个单位长度
C.纵坐标变为原来的23(横坐标不变),再向右平移π6个单位长度
D.纵坐标变为原来的23(横坐标不变),再向左平移π6个单位长度
2.[2022河南省信阳高级中学高一下月考]要得到函数y=2cos x的图象,只需将函数y=2sin (2x+π4)的图象上所有点的(　　)
A.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度
B.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向右平移π8个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π4个单位长度
3.[2022江苏南师附中高一期末]将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的12,得到函数g(x)的图象.已知g(x)=sin (2x+π3),则(　　)
A.f(x)=-sin 4x
B.f(x)=sin x
C.f(x)=sin (x+π3)
D.f(x)=sin (4x-π3)
4.(多选)下列四种变换方式中,能将正弦函数y=sin x的图象变为y=sin (2x+π4)的图象的是(　　)
A.向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)
B.横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度
C.横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度
D.向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)
知识点2　函数y=Asin (ωx+φ)的图象的应用
5.(多选)[2022广东化州三中高一上期末]将函数y=sin (2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可能为(　　)
A.-3π4 B.π4 C.0 D.-π4
6.[2022湖北荆州八县市高一上期末质检]函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　　)

A.g(x)=sin 2x
B.g(x)=sin (2x+π3)
C.g(x)=sin (2x-π3)
D.g(x)=sin (2x+2π3)
7.[2022北京高一期末]将函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在(0,m)上不存在最大值,则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,π3] B.(0,π3)
C.(0,5π12] D.(0,5π12)
8.[2022广东十五校联盟高一下联考]已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,且相邻的两条对称轴之间的距离为6.

(1)求函数f(x)的解析式;



(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,关于x的不等式g(x)≥12t2+2t在x∈[3,5]上有解,求实数t的取值范围.



二、能力提升
9.[2022湖北省武昌实验中学高一期末]已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期T≥3π4,且直线x=7π12是函数f(x)图象的一条对称轴,点(π3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,则函数f(x)在(-π4,π6)上的取值范围是(　　)
A.(-1,3] B.(-1,2]
C.(-12,1] D.[-1,2]
10.将函数y=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数f(x)的图象.若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增,且f(x)的最大负零点在区间(-5π12,-π6)内,则φ的取值范围是(　　)
A.(π6,π4] B.(π12,π4]
C.(π6,π2) D.(π12,π2)
11.(多选)[2022重庆六校高一上期末联考]已知函数f(x)=Acos (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(　　)

A.f(x)=2cos (2x+π3)
B.函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称
C.∀x∈R,f(x)=f(5π6-x)
D.函数f(x)在(0,π2)上无最小值
12.[2022山东烟台二中高二下段考]函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值为　　　　. 

13.已知函数f(x)=sin (2x+φ).若f(π6)-f(-π3)=2,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　. 
14.在下列三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.
①f(x)的最小正周期为π,且f(x)是偶函数;
②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π,且f(π4)=0;
③直线x=0与直线x=π2是f(x)图象上相邻的两条对称轴,且f(0)=2.
问题:已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若　　　　. 
(1)求ω,φ的值;




(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在[0,π]上的最小值和最大值.




15.[2022辽宁沈阳市第一二○中学高一下月考]已知函数f(x)=2sin (2ωx+π6)+1.
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=π2,求f(x)图象的对称中心.






(2)已知0<ω<5,函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,且x=π3是g(x)的一个零点.若函数h(x)=acos (2x-π6)-2a+3(a>0),对任意x1∈[0,π4],存在x2∈[0,π4],使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.

















参考答案
一、基础巩固
1.D　根据图象的平移、伸缩变换的规律,将函数y=3sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的23,即得到函数y=2sin x的图象;再向左平移π6个单位长度,得到y=2sin(x+π6)的图象.故选D.
2.C　y=2cos  x=2sin(x+π2),将y=2sin(2x+π4)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x+π4)的图象;再将y=2sin(x+π4)的图象向左平移π4个单位长度,得到y=2sin(x+π2)=2cos  x的图象.故选C.
3.B　由题意知将g(x)图象上各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π3个单位长度可得到f(x)的图象,所以f(x)=sin(x+π3−π3)=sin x.
4.AB　对于A,向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin(2x+π4)的图象;对于B,横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2(x+π8)=sin(2x+π4)的图象;对于C,横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2(x+π4)=sin(2x+π2)的图象;对于D,向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin(2x+π8)的图象.故选AB.
5.AB　平移后,得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+φ+π4),因其为偶函数,所以φ+π4=π2+kπ,k∈Z,即φ=π4+kπ,k∈Z.对选项一一分析可得,当k=-1时,φ=-34π;当k=0时,φ=π4.故选AB.
6.C　由题图可知A=1,14T=7π12−π3=π4,又T=2πω,所以ω=2.由题图可知2×π3+φ=π+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以令k=0,得φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),所以g(x)=sin[2(x-π3)+π3)]=sin(2x-π3).
7.C　g(x)=f(x-π6)=2sin(2x-π3).当x∈(0,m)时,2x-π3∈(-π3,2m-π3).因为g(x)在(0,m)上不存在最大值,所以2m-π3≤π2,可得m≤5π12,故0 8. 解：(1)由题意得函数f(x)的最小正周期T=12,
所以ω=2πT=π6,所以f(x)=2sin (π6x+φ).
因为f(x)的图象过点(1,2),所以f(1)=2sin(π6+φ)=2,即π6+φ=π2+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin(π6x+π3).
(2)因为将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,所以g(x)=2sin (π3x+π3).
当x∈[3,5]时,π3x+π3∈[4π3,2π],则2sin(π3x+π3)∈[-2,0].
因为不等式g(x)≥12t2+2t在x∈[3,5]上有解,所以12t2+2t≤0,解得-4≤t≤0,
所以实数t的取值范围为[-4,0].
二、能力提升
9.B　由题意知(14+k2)T=7π12−π3=π4,k∈N,则T=π1+2k,k∈N,又T≥3π4,所以k=0,即T=π,故ω=2πT=2,因此f(x)=2sin(2x+φ).将点(π3,0)代入,得2sin(2π3+φ)=0,即2π3+φ=mπ(m∈Z),由|φ|<π2,得φ=π3,故f(x)=2sin(2x+π3).因为x∈(-π4,π6),所以2x+π3∈(-π6,2π3),所以sin(2x+π3)∈(-12,1],故f(x)∈(-1,2].
10.B　由题意知,f(x)=sin(2x-2φ).令2kπ-π2≤2x-2φ≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ+φ-π4≤x≤kπ+φ+π4,k∈Z.又f(x)在区间[0,π3]上单调递增,0<φ<π2,所以φ+π4≥π3,φ−π4≤0,解得π12≤φ≤π4.令f(x)=0,得2x-2φ=mπ,m∈Z,即x=mπ2+φ,m∈Z,最大的负零点为x=φ-π2,所以-5π12<φ-π2<-π6,得π12<φ<π3.综上,π12<φ≤π4,故选B.
11.BC　由题图可知,A=2,T2=5π12-(-π12)=π2,所以T=π=2πω,即ω=2,所以f(x)=2cos (2x+φ).将点(-π12,2)代入,得2=2cos [2×(-π12)+φ],即cos (-π6+φ)=1,所以-π6+φ=2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=π6,即f(x)=2cos (2x+π6),故A错误.f(π6)=2cos (π3+π6)=0,所以函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称,故B正确.若∀x∈R,f(x)=f(5π6-x),则函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称,由函数图象易知C正确.由题图知当x=5π12时,函数f(x)取得最小值-2,故D错误.故选BC.
12. 2　解：由题图可知A=2,T=8,所以ω=2π8=π4,所以f(x)=2sin(π4x+φ).因为f(x)的图象过点(2,2),所以sin(π2+φ)=1,则π2+φ=π2+2kπ,k∈Z.又|φ|<π2,所以φ=0,故f(x)=2sin π4x.因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,2 022=8×252+6,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2.
13.[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z　解：因为函数f(x)=sin(2x+φ),所以函数f(x)的最小正周期为π.若f(π6)-f(-π3)=2,则f(π6)=sin(π3+φ)=1,f(-π3)=sin(-2π3+φ)=-1,故π3+φ=2k1π+π2,k1∈Z,且-2π3+φ=2k2π-π2,k2∈Z,即φ=2k3π+π6,k3∈Z,故f(x)=sin(2x+π6).令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.
14. 解：方案一　选条件①.
(1)因为f(x)的最小正周期为π,
所以T=2πω=π,所以ω=2.
因为f(x)是偶函数,所以φ=kπ+π2(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=π2.
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+π2)=2cos 2x.
将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,
得到y=2cos [2(x-π6)]=2cos (2x-π3)的图象,将y=2cos (2x-π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=2cos (x2−π3)的图象.
因为0≤x≤π,所以-π3≤x2−π3≤π6,
所以当x2−π3=-π3,即x=0时,g(x)取得最小值,为1;当x2−π3=0,即x=2π3时,g(x)取得最大值,为2.
所以g(x)在[0,π]上的最小值为1,最大值为2.
方案二　选条件②.
(1)因为函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π,所以T=2πω=π,ω=2.
因为f(π4)=0,所以sin(2×π4+φ)=0,即cos φ=0,
所以φ=kπ+π2(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=π2.
(2)同方案一.
方案三　选条件③.
(1)因为直线x=0与直线x=π2是f(x)图象上相邻的两条对称轴,
所以T2=π2,即T=2πω=π,所以ω=2.
因为f(0)=2sin φ=2,所以sin φ=1,
所以φ=2kπ+π2(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=π2.
(2)同方案一.
15. 解：(1)f(x)=2sin(2ωx+π6)+1的最小正周期T=2π|2ω|.
因为f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=π2,
所以f(x)的最小正周期是π,故T=2π|2ω|=π,解得ω=±1.
当ω=1时,f(x)=2sin(2x+π6)+1.
由2x+π6=kπ(k∈Z),得x=-π12+kπ2(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为点(-π12+kπ2,1)(k∈Z);
当ω=-1时,f(x)=2sin(-2x+π6)+1.由-2x+π6=kπ(k∈Z),得x=π12−kπ2(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为点(π12−kπ2,1)(k∈Z).
(2)因为函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,所以g(x)=2sin(2ωx+π6−π3ω)+1.
因为x=π3是g(x)的一个零点,
所以g(π3)=2sin(2π3ω+π6−π3ω)+1=0,即sin (π3ω+π6)=-12,
所以π3ω+π6=7π6+2mπ或π3ω+π6=11π6+2mπ,m∈Z,
解得ω=3+6m或ω=5+6m(m∈Z).
由0<ω<5可得ω=3,所以g(x)=2sin(6x-5π6)+1.
对任意x1∈[0,π4],存在x2∈[0,π4],使得h(x1)=g(x2)成立,
则{y|y=h(x),x∈[0,π4]}⊆{y|y=g(x),x∈[0,π4]}.
当x∈[0,π4]时,6x-5π6∈[-5π6,2π3],sin(6x-5π6)∈[-1,1],
所以g(x)∈[-1,3].
当x∈[0,π4]时,2x-π6∈[-π6,π3],cos (2x-π6)∈[12,1],所以h(x)∈[-32a+3,-a+3].
所以[-32a+3,-a+3]⊆[-1,3],
即−32a+3≥−1,−a+3≤3,解得0≤a≤83,
又a>0,所以实数a的取值范围为(0,83].