数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时作业

习题课——函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用

课后训练巩固提升

A组

1.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

解析:因为y=sin3x+cos3x=sin,y=cos3x=sin,所以只需将y=cos3x的图象向右平移个单位长度,即可得到y=sinsin的图象.

答案:A

2.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f的值为(　　)

A.- B.- C.- D.-1

解析:由题中图象可得A=,最小正周期T=4=π,则ω==2.

又fsin=-,

解得φ=+2kπ(k∈Z).

所以f(x)=sin.

所以fsinsin=-1,

故选D.

答案:D

3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)

A.2,-

B.2,-

C.4,-

D.4,

解析:由题图可知,即T=π.

由T==π,得ω=2.

由题中图象过点,

可得×2+φ=+2kπ,k∈Z,

解得φ=-+2kπ,k∈Z.

又φ∈,故φ=-.

答案:A

4.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为直线(　　)

A.x=(k∈Z) B.x=(k∈Z)

C.x=(k∈Z) D.x=(k∈Z)

解析:将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin2=2sin2x+的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),即平移后图象的对称轴为直线x=(k∈Z).

答案:B

5.如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况,设∠BAD=θ,周长为L(x),当θ在定义域内增大时(　　)

A.L(θ)先减小后增大 B.L(θ)减小

C.L(θ)先增大后减小 D.L(θ)增大

解析:连接BD.

∵∠BAD=θ,

∴AD=BC=2Rcosθ,θ∈.

作DE⊥AB于点E,CM⊥AB于点M,

得AE=BE=ADcosθ=2Rcos2θ.

∴DC=AB-2AE=2R-4Rcos2θ.

∴梯形ABCD的周长L(θ)=AB+2AD+DC=2R+4Rcosθ+2R-4Rcos2θ

=4R(-cos2θ+cosθ+1)

=4R,

可得L(θ)在区间内单调递减,在区间内单调递增,故选A.

答案:A

6.将函数f(x)=coscos 2x的图象平移后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则可以将函数f(x)的图象(　　)

A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

解析:函数f(x)=coscos2x

=sin2x+cos2x=2sin

=2sin2.

将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)=2sin2x的图象,可知函数g(x)为奇函数,满足条件,故选B.

答案:B

7.若函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f=　　　　　. 

解析:由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,可得A=2,

T=,得ω=2.

再根据2×+φ=2kπ,k∈Z,

求得φ=2kπ-,k∈Z.又|φ|<π,

所以φ=.则f(x)=2cos.

故f=2cos=-.

答案:-

8.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;

(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象;

(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.

解:(1)根据表中已知数据,

解得A=3,ω=2,φ=-,数据补全如下表:

所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin.

(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象如图所示.

(3)令t=2x-,x∈,

则t∈.

故f(x)=3sin,x∈可转化为y=3sint,t∈.

因为y=sinx在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以y=3sint在区间上单调递减,在区间上单调递增.

所以y=3sint的最小值为3sin=-3,最大值为3sin.当t=-时,x=-;当t=-时,x=-.

故当x=-时,f(x)max=;

当x=-时,f(x)min=-3.

B组

1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到y=sin 2x的图象,只需将f(x)的图象(　　)

A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

解析:由题中图象,可知A=1,T=.

又T=,故ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).

所以f=sin=-1,

所以2×+φ=2kπ+(k∈Z),

解得φ=2kπ+(k∈Z).

因为|φ|<,所以φ=.

所以f(x)=sin,

所以f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到y=sin=sin2x的图象.

答案:B

2.已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-≤θ≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为(　　)

A. B. C. D.

解析:因为函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-≤θ≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为,所以T=π.所以ω=2.

因为将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到图象对应的函数g(x)=sin是偶函数,

所以+θ=kπ+(k∈Z),

解得θ=kπ+(k∈Z).

因为-≤θ≤,所以θ=.

所以f(x)=sin.

令+2kπ≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

解得+kπ≤x≤kπ+(k∈Z).

当k=0时,可知函数f(x)的一个单调递减区间为.

因为,所以选B.

答案:B

3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈,则cos2α+等于(　　)

A.± B. C.- D.

解析:由题图可知A=3,T=×4=π=,故ω=2.

∴f(x)=3sin(2x+φ).又f=-3,

∴3sin=-3.∵0<φ<π,∴φ=.

∴f(x)=3sin,

∵f(α)=1,∴sin.

∵0<α<,∴<2α+,

∴cos=-=-.

答案:C

4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为　　　　　℃. 

解析:依题意可知a==23,A==5,

故y=23+5cos.

当x=10时,y=23+5cos=20.5.

答案:20.5

5.若函数y=cos 2x+sin 2x+a在区间上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　　.

解析:由题意可知y=2sin+a,该函数在区间上有两个不同的零点,即直线y=-a与曲线y=2sin在区间上有两个不同的交点.

结合函数的图象可知1≤-a<2,故-2<a≤-1.

答案:(-2,-1]

6.已知函数f(x)=sin-cos ωx,其中0<ω<3,函数f(x)图象的一个对称中心为.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(α)=-,其中α∈,求sin α的值.

解:(1)因为函数f(x)=sin-cosωx=sinωx-cosωx=sin,

又函数f(x)图象的一个对称中心为,

所以=kπ(k∈Z),即ω=6(k∈Z).

因为0<ω<3,所以ω=2,即f(x)=sin.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

可得函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=sin的图象.

因为g(α)=-,所以sin=-.

又因为α∈,所以cos.

所以sinα=sin=sincos+cossin=-.