高中数学5.5 三角恒等变换同步练习题

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题

1.(2020河南信阳高一下期末)求值:cos2sin2= (　　)

A.1 B. C. D.-

2.的值为 (　　)

A.- B.- C. D.

3.(2020浙江嘉兴高一下期末)计算:= (　　)

A. B.-1 C. D.+1

4.(2019福建福州八县(市)协作校高一上期末联考)下列各式中与相等的是 (　　)

A.sin 2-cos 2    B.cos 2-sin 2      C.cos 2        D.-cos 2

5.(2020浙江宁波高一下期末)sin2= (　　)

A. B. C. D.

6.(多选)(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中)下列各式中,值为的是 (　　)

A.2sin 15°cos 15°

B.1-2sin215°

C.sin215°+cos215°

D.

题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题

7.(2020福建泉州高一下期末)若sin α=,则cos 2α= (　　)

A. B. C.- D.±

8.(2020福建南平高一下期末)已知cos α=,则cos(π+2α)的值为 (　　)

A.- B.- C. D.

9.(2020天津河西高一上期末)已知cos α=,α∈,则sin 2α=　　　　. 

10.(2020浙江宁波高一下期末)已知α为锐角,且sin +cos =,则sin α=　　　　,

tan 2α=　　　　. 

题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用

11.(2020浙江温州新力量联盟高一下期末联考)已知tan=-3,则= (　　)

A. B.- C. D.-

12.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.

13.已知函数f(x)=2cos,x∈R.

(1)求f(π)的值;

(2)若f =,α∈,求f(2α)的值.

能力提升练

题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题

1.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)若tan·cos=sin-msin,则实数m的值为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.2             B.

C.2                 D.3

2.(2020北师大附中高一上期末,)计算-的结果是 (　　)

A.-4 B.-2 C.2 D.4

3.(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中,)cos ·cos =　　　　. 

4.()sin 50°(1+tan 10°)的值为　　　　. 

5.()4cos 50°-tan 40°=　　　　. 

题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题

6.(2020山东潍坊高一下期末,)已知cos=,则sin 2θ= (　　)

A.-                    B.-

C.                   D.

7.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)对于锐角α,若sin=,则cos= (　　)

A.                      B.

C.                      D.-

8.(2020北京交大附中高一下期末,)已知cos 2α=,则cos2-2cos2(π-α)的值为　　　　. 

9.(2020福建厦门高一下期末,)等腰三角形顶角的余弦值为,则一个底角的正切值为　　　　. 

10.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)若=4,

则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为　　　　. 

11.(2020四川雅安高一上期末,)已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求sin的值;

(2)求cos β的值.

题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用

12.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若=-,则cos α+sin α= (　　)

A.2 B.1 C. D.-

13.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知a=,b=cos 330°,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.c>a>b B.c>b>a

C.a>c>b D.b>a>c

14.(2020天津南开中学高一上期末,)设0≤x<2π,且=sin x-cos x,则 (　　)

A.0≤x≤ B.≤x≤

C.≤x≤ D.≤x≤

15.(多选)(2020河北石家庄二中实验学校高一上期末,)已知0<θ<,若sin 2θ=m,cos 2θ=n,且m≠n,则下列选项中与tan恒相等的为              (　　)

A. B. C. D.

16.(2020北京东城高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边绕原点逆时针旋转后得到角β.

(1)求tan α的值;

(2)求cos(α+β)的值.

17.(2019浙江衢州五校高一期末联考,)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.

(1)求cos的值;

(2)已知α∈,sin=,-<β<0,求α-β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　cos2sin2=sin2=,故选C.

2.D　原式=cos2-sin2=cos=.

3.C　 =tan 60°=,故选C.

4.A　==|cos 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限,

∴sin 2>0,cos 2<0,

∴=sin 2-cos 2,故选A.

5.A　sin2===,故选A.

6.BD　A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=;B符合,1-2sin215°=cos 30°=;C不符合,sin215°+cos215°=1;D符合,=·=·tan 30°=.故选BD.

7.B　 ∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.故选B.

8.D　cos(π+2α)=-cos 2α=1-2cos2α=1-2×=.故选D.

9.答案　-

解析　因为cos α=,α∈,所以sin α=-,故sin 2α=2sin αcos α=-.

10.答案　;

解析　因为sin +cos =,

所以sin2+2sin cos +cos2==,所以1+sin α=,

所以sin α=.

因为α为锐角,所以cos α==,所以tan α==,

所以tan 2α===.

11.C　由tan=-3得=-3,即=-3,解得tan A=2,

因为===,

所以==.故选C.

12.证明　左边=-

=

=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2A·cos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,

∴等式成立.

13.解析　(1)f(π)=2cos

=-2cos =-2×=-.

(2)因为f=2cos=-2sin α=,所以sin α=-.

又α∈,所以cos α===,

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.

所以f(2α)=2cos

=2cos 2αcos+2sin 2αsin

=2××+2××=.

能力提升练

1.A　由tancos=sin-msin,得msincos=sincos-cos·sin,

因此msin=sin=sin,

则m=,即m=2,故选A.

2.A　-

=-=-

=

=

==

==-4.故选A.

3.答案　

解析　cos ·cos

=

==

==.

解题模板　对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角公式求解.

4.答案　1

解析　原式=sin 50°

=sin 50°·

=2sin 50°·

===1.

5.答案　

解析　4cos 50°-tan 40°

=

==

=

=

==.

6.D　因为cos=,

所以sin 2θ=cos

=cos=2cos2-1=2×-1=.故选D.

7. D　由α为锐角,得-<α-<,因为sin=,所以cos=,所以cos=

cos =-sin =-2sin·cos=-2××=-,故选D.

解题模板　在解决已知一个三角函数值求其他三角函数值的问题中,常用已知角表示未知角,如本题中的“2α+=2+”,由此利用相关公式解题,必要时可采用换元法,找到未知角与已知角的关系.

8.答案　-1

解析　∵cos 2α=cos2α-sin2α=,且sin2α+cos2α=1,∴sin2α=,cos2α=,

∴cos2-2cos2(π-α)=sin2α-2cos2α=-2×=-1.

9.答案　

解析　设等腰三角形的顶角为A,一个底角为B,则B与互余,

因为等腰三角形顶角的余弦值为,

所以cos A=,所以0<A<,所以∈,所以2cos2-1=,

所以2cos2=,因为∈,

所以cos ===sin B,

则sin ==cos B,

所以tan B==.

10.答案　1

解析　∵==4,

∴cos2θ+2cos θ-3=0,

解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去),

∴sin2θ=1-cos2θ=0,即sin θ=0,

∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.

11.解析　(1)sin=-cos 2α=2sin2α-1=-.

(2)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==.

易知α+β∈(0,π),且cos(α+β)=,

∴sin(α+β)==.

∴cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=×+×=.

12.C　∵=-,

∴cos 2α=-sin

=-

=-

=(cos α-sin α),

∵sin=sin α-cos α≠0,

∴cos α-sin α≠0,

又cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α),

∴(cos α+sin α)(cos α-sin α)=(cos α-sin α),即cos α+sin α=.故选C.

13.C　因为tan 45°=1,所以a===tan 61°>tan 45°=1.

b=cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.

c====cos 29°.

由y=cos x的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,所以tan 61°>tan 45°>cos 29°>cos 30°,

即a>c>b,故选C.

14.B　依题意得

=

=|sin x-cos x|=sin x-cos x,

∴

解得≤x≤.故选B.

15.AD　tan======,

∴tan==,即A,D符合.

选项B中,===tan θ,选项B不符合.同理选项C不符合.故选AD.

16.解析　(1)∵角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,

∴tan α==-.

(2)由题意得β=α+.

易得cos α=-,sin α=,∴sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=-.

∴cos(α+β)=cos=cos 2αcos-sin 2αsin=(cos 2α-sin 2α)=.

17.解析　(1)依题意知tan α=2.

cos=(cos 2α-sin 2α)

=·

=·

=×=-.

(2)∵α∈,∴sin α=,cos α=.

∵-<β<0,∴-<β+<,

∵sin=,∴cos=,

∴cos=cos αcos+sin αsin

=×+×=.

∵α∈,β+∈,

∴α-∈,

∴α-=,

∴α-β=.