高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时随堂练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十八) 二倍角的正弦、余弦、正切公式


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1.eq \f(sin 20°cs 20°,cs2155°－sin2155°)的值是( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


A [原式＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 310°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).]


2．若sineq \f(α,2)＝eq \f(12,13)，cseq \f(α,2)＝－eq \f(5,13)，则角α是( )


A．第一象限的角 B．第二象限的角


C．第三象限的角 D．第四象限的角


C [∵sin α＝2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝2×eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＜0，


cs α＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up12(2)＜0，


∴α是第三象限的角．]


3．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )


A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9)


C.eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)


A [∵sin α－cs α＝eq \f(4,3)，


∴1－2sin αcs α＝eq \f(16,9)，


即1－sin 2α＝eq \f(16,9)，∴sin 2α＝－eq \f(7,9).]


4．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α＝( )


A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4)


C．－eq \f(4,3) D．eq \f(4,3)


B [因为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，


整理得tan α＝－3，


所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×－3,1－－32)＝eq \f(3,4).]


5．已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是( )


A.eq \f(4\r(5),9) B.eq \f(2\r(5),9)


C．－eq \f(4\r(5),9) D．－eq \f(2\r(5),9)


A [设底角为θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ.


∵sin θ＝eq \f(\r(5),3)，∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(2,3)，


∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcs θ


＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).]


二、填空题


6．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .


eq \f(1,6) [cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6).]


7．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝ .


－eq \f(5,6) [eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)


＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6).]


8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq \f(4,3)，则tan α＝ .


－eq \f(1,2) [∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，


∴tan α＝－eq \f(1,2)或tan α＝2.


∵α在第二象限，∴tan α＝－eq \f(1,2).]


三、解答题


9．求证：eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝taneq \f(θ,2).


[证明] eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)


＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2))


＝eq \f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs\f(θ,2))),2cs\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝taneq \f(θ,2).


10．已知cs x＝eq \f(\r(10),10)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．


[解] ∵cs x＝eq \f(\r(10),10)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，


∴sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3\r(10),10)，


∴sin 2x＝2sin xcs x＝－eq \f(3,5)，


∴eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x


＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,4)－sin 2xsin \f(π,4)))＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(4,5).





11．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于( )


A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)


C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(1,3)


C [因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,9).]


12．tan 70°cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)＝( )


A．1 B．－1


C.eq \f(1,2) D．2


B [原式＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°,cs 20°)－1))


＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)


＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \f(2sin－10°,cs 20°)


＝－eq \f(sin 70°,cs 70°)·eq \f(sin 20°,cs 20°)


＝－1.]


13．已知sin22α＋sin 2αcs α－cs 2α＝1，则锐角α＝ .


eq \f(π,6) [由原式，得sin22α＋sin 2αcs α－2cs2α＝0，


∴(2sin αcs α)2＋2sin αcs2α－2cs2α＝0，


∴2cs2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，


∴2cs2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.


∵α为锐角，


∴cs2α≠0，sin α＋1≠0，


∴2sin α－1＝0，


∴sin α＝eq \f(1,2)，


∴α＝eq \f(π,6).]


14．(一题两空)已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cs α＋2cs β＝3，则sin α＝ ，α＋2β＝ .


eq \f(4\r(2),9) π [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(2,3)sin β， ①,cs α＝1－\f(2,3)cs β， ②))


①2＋②2得cs β＝eq \f(1,3)，cs α＝eq \f(7,9)，


由α，β均为锐角知，sin β＝eq \f(2\r(2),3)，sin α＝eq \f(4\r(2),9)，


∴tan β＝2eq \r(2)，tan α＝eq \f(4\r(2),7)，


∴tan 2β＝－eq \f(4\r(2),7)，


∴tan(α＋2β)＝0.


又α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，


∴α＋2β＝π.]





15．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且α∈(0，π)．


(1)求tan 2α的值；


(2)求2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).


[解] (1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，因为α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


所以sin α－cs α


＝eq \r(2－sin α＋cs α2)＝eq \f(7,5)，


解得sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，


故tan α＝－eq \f(4,3)，


所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).


(2)2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))


＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))


＝1－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α


＝1－cs α


＝eq \f(8,5).