高中数学第四章 指数函数与对数函数4.3 对数测试题

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

4.3.2　对数的运算

基础过关练

题组一　对数的概念及性质

1.下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0  B.1  C.2   D.3

2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为 (　　)

A.a>,且a≠1 B.0<a<

C.a>0,且a≠1 D.a<

3.(2020河北辛集中学高一期中)若log32=x,则3x+9x的值为  (　　)

A.6    B.3    C.    D.

4.(2020天津红桥高一上期末)求值:log2(lg 10)=　　　　. 

5.(2020山东济南高一上期末)-=　　　　. 

6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么=　　　　. 

题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形

7.(2020安徽安庆高一上期末质量检测)计算:log32-log36= (　　)

A.1   B.-1 C.-log32 D.-2log32

8.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:

①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga;④=logax;⑤=loga.

其中正确的有 (　　)

A.2个 B.3个

C.4个 D.5个

9.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36= (　　)

A. B.

C. D.

10.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考)(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5=　　　　. 

11.(2020山东滨州高一上期末)计算:log2×log32=　　　　.  

12.计算下列各式:

(1)2ln e+lg 1+;(2)+2ln 1.

题组三　对数运算的综合应用

13.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是              (　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.钝角三角形

14.(2021江苏南通如东高一上期中)物理学规定音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lg (其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间,则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的(　　)

A.倍  B.倍    C.100倍 D.lg 倍

15.(2020河北唐山一中高一期中)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).

(1)求am+2n的值;

(2)若0<x<1,x+x-1=a,且m+n=log32+1,求x2-x-2的值.

能力提升练

题组一　对数的概念及性质　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设2a=5b=m,且+=2,则m= (　　)

A.          B.-

C.或-   D.10

2.(2020天津河东高一上期末,)求值:-+lg +=　　　　. 

3.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考,)已知a>0,且a≠1,loga2=x,则ax=　　　　,a2x+a-2x=　　　　. 

题组二　对数式的恒等变形

4.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为              (　　)

A. B.60 C. D.

5.(2020广东珠海高一上期末,) 计算:·-log37·log79+log126+log122=　　　　. 

6.(2020天津滨海新区高一上期末,)若lg 2=a,lg 3=b,则log312的值为　　　　.(结果用含a,b的代数式表示) 

7.(2021河北张家口一中高一上期中,)求值:2-×log2+2lg(+)=　　　　. 

8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=bb,则a+b=　　　　. 

9.(2020河南省实验中学高一上期中,)计算:

(1)log3+lg 25-+lg 4;

(2)2log32-log3+log38-.

10.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知A=+810.25-×+log53×log325,B=log2(4B+2A),求A,B的值.

题组三　对数运算的综合运用

11.(多选)(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知2a=3,b=log32,则 (　　)

A.a+b>2 B.ab=1

C.3b+3-b= D.=log912

12.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测,)已知lg x+lg y=2,则+的最小值是　　　　. 

13.()设方程log3x3+log27(3x)=-的两个根分别为a和b,则a+b的值为　　　　. 

14.(2020山东济南高一上期末,)数学运算是指在明确运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.

(1)请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R);

(2)请你运用上述对数运算性质计算×的值;

(3)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.

(参考数据:lg 2 019≈3.305)

答案全解全析

基础过关练

1.B　对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.

2.B　由题意知解得0<a<.

3.A　由log32=x得3x=2,因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6,故选A.

4.答案　0

解析　log2(lg 10)=log21=0.

5.答案　-5

解析　-=4-=4-9=-5.

6.答案　

解析　∵log7[log3(log2x)]=0,

∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23,

∴====.

7.B　log32-log36=log3=log3=-1.故选B.

8.A　根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.

9.B　log36===.

10.答案　1

解析　(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5

=(lg 2)2+(lg 5)2+lg 22·lg 5

=(lg 2)2+(lg 5)2+2lg 2·lg 5

=(lg 2+lg 5)2=[lg(2×5)]2=12=1.

故答案为1.

11.答案　

解析　 log2×log32=×log23×log32=××=.

12.解析　(1)原式=21+0+2=2+2=4.

(2)原式=+20=÷31+1=+1=.

13.B　由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,

所以lg =0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.

14.C　∵η=10lg ,∴60 dB声音的声波强度I1=106·I0,40 dB声音的声波强度I2=104·I0,

∴==102=100,故选C.

15.解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=am·a2n=3×22=12.

(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.

于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,

由0<x<1知x-x-1<0,

从而x-x-1=-,

∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.

能力提升练

1.A　易知m>0,由等式2a=m,5b=m两边取对数,

可得a=log2m,b=log5m,=logm2,=logm5,

所以+=logm2+logm5=logm10=2,可得m=,故选A.

2.答案　-3

解析　 -+lg +=2-2-+(-2)+

=--2+1=-3,故答案为-3.

3.答案　2;

解析　由指数式与对数式的互化得loga2=x⇒ax=2.

a2x+a-2x=+=22+=.

4.B　依题意得logmx=,logmy=,

logm(xyz)=⇒logmx+logmy+logmz=,

∴logmz=--=.

因此logzm=60,故选B.

5.答案　0

解析　原式=×-log37×log732+log1212=1-2log37×log73+1=1-2+1=0.

解题模板　对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值.

6.答案　

解析　∵lg 2=a,lg 3=b,

∴log312===,

因此答案为.

7.答案　19

解析　原式=(33-3×(-3)+lg(+)2

=9+9+lg(3++3-+2)

=9+9+lg 10=19.

8.答案　

解析　由logab-=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=.当b=a3时,aa=bb==,则a=3a3,而a>0,则a=,b=;当b=时,aa=bb==,则a=-,而a>0,所以无解,所以a+b=.

9.解析　(1)log3+lg 25-+lg 4

=log327+(lg 25+lg 4)-

=+2-=1.

(2)原式=log34-log3+log38-

=log3-9

=log39-9=2-9=-7.

10.解析　A=+810.25-×+log53×log325

=1+3-3×4+log53×

=-8+2=-6,

又B=log2(4B+2A),

∴2B=4B-12,

令t=2B(t>0),

则t2-t-12=0,

解得t=-3(舍去)或t=4,

即2B=4,∴B=2.

故A=-6,B=2.

11.ABD　∵2a=3,∴a=log23,

∵b=log32,∴ab=log23·log32=1,因此B正确;

由基本不等式可知a+b>2=2,因此A正确;

3b+3-b=2+=,因此C错误;

===+=log32+log3=log32=log912,因此D正确.故选ABD.

12.答案　

解析　由lg x+lg y=2得xy=100,所以+=xy=(x+y)≥×=,

当且仅当x=y=10时,取等号,故答案为.

13.答案　

解析　利用对数换底公式把方程log3x3+log27(3x)=-化为+=-,

∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,

解得1+log3x=-1或1+log3x=-3,

∴log3x=-2或log3x=-4,因此x=或x=,

从而a+b=+=,故答案为.

14.解析　(1)解法一:设x=logaM,则M=ax,

所以Mn==anx,所以logaMn=nx=nlogaM.

解法二:设x=nlogaM,所以=logaM,所以=M,所以ax=Mn,

因此x=logaMn,

故logaMn=nlogaM.

解法三:因为=Mn,所以==Mn,

因此=,

所以logaMn=nlogaM.

(2)×=×=

=·=.

(3)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N*,

两边取常用对数,得k<lg 2 0192 020<k+1,

因此k<2 020lg 2 019<k+1,

又lg 2 019≈3.305,

所以k<2 020×3.305<k+1,

解得6 675.1<k<6 676.1,

又k∈N*,

所以k=6 676,

故2 0192 020的位数为6 677.

解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,又lg 2 019≈3.305,

所以lg N≈6 676.1,因此N=106 676.1=100.1×106 676,

又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,即2 0192 020的位数为6 677.

解题模板　解决数字的位数问题,需要对该数取对数进行分析,由对数的整数部分就可以得到此数的位数,如lg N=6 676.1,则N的位数为6 676+1=6 677.