高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率本章综合与测试学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率本章综合与测试学案及答案，共10页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100,10 B．100,20
C．200,10 D．200,20
答案 D
解析 由题意得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，抽取的高中生人数为2 000×2%＝40(人)，则近视人数为40×0.5＝20(人)，故选D.
2．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( )
A．193 B．192 C．191 D．190
答案 B
解析 1 000×eq \f(n,200＋1 200＋1 000)＝80，求得n＝192.
3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)等于( )
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
答案 C
解析 因为这P(C)＝0.6，事件B与C对立，所以P(B)＝0.4，又P(A)＝0.3，A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7，故选C.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有( )
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
答案 C
解析 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”，事件A与事件B是对立事件；事件A与事件C是互斥但不对立事件；事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件．故互斥但不对立的共有1对．
5．随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道的概率为( )
A.eq \f(7,16) B.eq \f(1,16) C.eq \f(9,16) D.eq \f(3,8)
答案 A
解析 每道题猜对的概率为0.25＝eq \f(1,4)，则猜错的概率为eq \f(3,4)，由独立事件概率的计算公式得两道选择题都猜错的概率为eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)，所以至少猜对一道的概率为1－eq \f(9,16)＝eq \f(7,16)，故选A.
6．某人为了检测自己的解题速度，记录了5次解题所花的时间(单位：分)分别为x，y,55,60,50，已知这组数据的平均数为55，方差为eq \f(52,5)，则|x－y|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 因为这组数据的平均数为55，方差为eq \f(52,5)，所以x＋y＝110，(x－55)2＋(y－55)2＝2.设x＝55＋t，y＝55－t，因为(x－55)2＋(y－55)2＝2，所以2t2＝2，即t2＝1，则|x－y|＝2|t|＝2.故选B.
7．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被称为“王者农药”．某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是( )
A．0.20 B．0.22 C．0.25 D．0.42
答案 C
解析 由题意可得，黄金段位的人数为0.2×20＝4，则抽得铂金段位的概率为eq \f(20－11－4,20)＝0.25，故选C.
8．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(7,15) C.eq \f(8,15) D.eq \f(13,15)
答案 C
解析 根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，这15种结果出现的可能性相等.2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取的这2人不在同一组的概率为eq \f(8,15).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列事件中，随机事件有( )
A．2022年10月1日，上海市晴天
B．在标准大气压下，水在0 ℃时结冰
C．从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签
D．若x∈R，则|x|<0
答案 AC
解析 AC为随机事件，B为必然事件，D为不可能事件．
10．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温不低于20 ℃的月份有5个
答案 ABC
解析 由题中雷达图易知A，C正确．七月份平均最高气温超过20 ℃，平均最低气温约为13 ℃；一月份平均最高气温约为6 ℃，平均最低气温约为2 ℃，所以七月的平均温差比一月平均温差大，故B正确．由题图知平均最高气温不低于20 ℃的月份为六、七、八月，有3个．故选ABC.
11．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的是( )
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000人
C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
答案 ABC
解析 由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq \f(0.05,0.3)≈71.67，故D错误．故选ABC.
12．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．则下列说法正确的是( )
A．进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率为0.3
B．进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5
C．进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.8
D．进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都不购买的概率为0.5
答案 ABC
解析 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”．
易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
D＝Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B，则P(D)＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
P(E)＝P(C)＋P(D)＝0.8.
甲、乙都不购买的概率为1－P(E)＝0.2.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________________.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 9
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
答案 331,455,068,047,447
解析 选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.
14．随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．若这组数据的中位数、平均数分别为a，b，则a＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 85 85
解析 题图中的数据分别为75,76,77,81,83,87,89,93,94,95.中位数a＝eq \f(1,2)×(83＋87)＝85，平均数b＝eq \f(1,10)×(75＋76＋77＋81＋83＋87＋89＋93＋94＋95)＝85.
15．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq \f(1,70)，eq \f(1,69)，eq \f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案 eq \f(3,70)
解析 加工出来的零件的正品率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,70)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,69)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,68)))＝eq \f(67,70)，所以次品率为1－eq \f(67,70)＝eq \f(3,70).
16．将一个质地匀匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是________．
答案 eq \f(1,4)
解析 由题意，函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上为减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(b,a)≥2.))
当a取1时，b可取2,3,4,5,6；当a取2时，b可取4,5,6；当a取3时，b可取6，共9种．
因为(a，b)的取值共36种情况，所以所求概率为eq \f(9,36)＝eq \f(1,4).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)为缓解堵车现象，解决堵车问题，某市交通局调查了甲、乙两个交通站的车流量，在2019年5月随机选取了14天，统计每天上午7∶30～9∶00间各自的车流量(单位：百辆)得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答以下问题：
(1)甲、乙两个交通站的车流量的中位数分别是多少？
(2)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？说明理由．
解 (1)根据茎叶图中的数据可得，甲交通站的车流量的中位数为eq \f(55＋58,2)＝56.5，乙交通站的车流量的中位数为eq \f(36＋37,2)＝36.5.
(2)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙．
18．(12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解 (1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).
因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq \x\t(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9).
因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
19．(12分)有7位选手(1至7号)参加主持人大赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查评委对7位选手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号选手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号选手的概率．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号选手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号选手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，
故所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).
20．(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq \f(4,5)，乙当选的概率为eq \f(3,5)，丙当选的概率为eq \f(7,10)，他们是否当选互不影响．
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(C)＝eq \f(7,10).
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(Aeq \x\t(B)eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)C)＝P(A)P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(47,250).
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)(C)＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(83,125).
21．(12分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：
某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；
(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．
解 (1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70；乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.
eq \x\t(x)甲＝eq \f(32＋34＋45＋56＋63＋70,6)＝50，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(33＋46＋47＋51＋64＋71,6)＝52.
因为eq \x\t(x)甲(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a，b，c，d，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m，n，则从这6天中抽取2天，这个试验的样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共有15个样本点，且这15个样本点出现的可能性相等．
记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A，则事件A包含的样本点有(a，m)，(b，m)，(c，m)，(d，m)，(a，n)，(b，n)，(c，n)，(d，n)，共8个．
所以P(A)＝eq \f(8,15)，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为eq \f(8,15).
22．(12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解 (1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3 800，x≤19，,500x－5 700，x>19))(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为eq \f(1,100)×(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为eq \f(1,100)×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
PM2.5日均值k/(μg·m－3)
空气质量等级
k≤35
一级
35二级
k>75
污染