2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（二）（含答案）

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（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式．
（2）Mm,0 为线段 OA 上一动点（不与点 O，A 重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N．
①用含 m 的代数式表示线段 PN 的长；
②若以点 B，P，N 为顶点的三角形与 △APM 相似，求点 M 的坐标．

2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，P 是线段 BC 上一点（P 不与 B 重合）．M 是 DB 上一点，且 BP=DM，若设 BP=x，△MBP 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式．

3. 已知直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 的交点为 A 和 B，求 S△AOB．

4. 已知抛物线 y=ax2+ca≠0 经过点 P3,0，Q1,4 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 A 在直线 PQ 上，过点 A 作 AB⊥x轴 于点 B，以 AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 ABC．
①当 Q 与 A 重合时，求 C 到抛物线对称轴的距离；
②若 C 在抛物线上，求 C 的坐标．

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca>0 与 x 轴交于点 A−2,0，B（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2．
（1）填空：点 B 的坐标是 ；
（2）连接 AC，BC，若 △ABC 的面积为 24，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点 Q 为 x 轴正半轴上一点，连接 CQ，当 △ACQ 为直角三角形时，求点 Q 的坐标．

6. 如图所示，抛物线 y=−43x2+bx+c 过点 A3,0 和 B0,2，点 Mm,0 为线段 OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P，N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 是 MN 的中点，求点 P 的坐标；
（3）若以点 B，N，P 为顶点的三角形与 △AMP 相似，请直接写出点 P 的坐标．

7. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A−1,0，B4,0 两点，与 y 轴相交于点 C0,2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判定 △ABC 的形状．

8. 如图，Pm,n 是抛物线 y=−x24+1 上任意一点，l 是过点 0,2 且与 x 轴平行的直线，过点 P 作直线 PH⊥l，垂足为 H，PH 交 x 轴于 Q．
（1）【探究】填空：当 m=0 时，OP= ，PH= ；当 m=4 时，OP= ，PH= ．
（2）【证明】对任意 m，n，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想．
（3）【应用】当 OP=OH，且 m≠0 时，求 P 点的坐标．

9. 如图，已知 Rt△OAB，∠OAB=90∘，∠ABO=30∘，斜边 OB=4，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60∘，得到 △ODC，连接 BC．
（1）填空：∠OBC= ∘．
（2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 的长度．
（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在 △OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，△OMN 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式．

10. 已知抛物线 y=ax2+bx−5 与 x 轴交于点 A−1,0 和 B−5,0，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，点 N 在抛物线对称轴上且位于 x 轴下方，连 AN 交抛物线于 M，连 AC，CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，当 tan∠ACM=2 时，求 M 点的横坐标；
（3）如图 2，过点 P 作 x 轴的平行线 l，过 M 作 MD⊥l 于 D，若 MD=3MN，求 N 点的坐标．

11. 如图，抛物线 y=mx2+m2+3x−6m+9 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C3,0．
（1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式；
（2）P 为抛物线上一点，若 S△PBC=S△ABC，请直接写出点 P 的坐标；
（3）Q 为抛物线上一点，若 ∠ACQ=45∘，求点 Q 的坐标．

12. 如图，抛物线 y=x+1x−a（其中 a>1）与 x 轴交于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．
（1）直接写出 ∠OCA 的度数和线段 AB 的长（用 a 表示）；
（2）若点 D 为 △ABC 的外心，且 △BCD 与 △ACO 的周长之比为 10:4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 y=x+1x−a 上是否存在一点 P，使得 ∠CAP=∠DBA?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 已知抛物线 y=x2+bx−3（b 是常数）与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）若点 A 坐标为 −1,0，求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △CNP 为等腰三角形?若存在，求出符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由；
（3）在 −1≤x≤2 范围内，二次函数有最小值是 −6，求 b 值（直接写出答案即可）

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A0,4，B1,0，C5,0，其对称轴与 x 轴相交于点 M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使 △PAB 的周长最小?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 △NAC 的面积最大?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 的图象与坐标轴相交于 A，B，C 三点，其中 A 点坐标为 3,0，B 点坐标为 −1,0，连接 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 2 个单位长度向点 C 做匀速运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度向点 A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒．
（1）求 b，c 的值；
（2）在 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小，最小值为多少?
（3）在线段 AC 上方的抛物线上是否存在点 M，使 △MPQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 已知抛物线 y=ax−ℎ2−2（a，ℎ 是常数，a≠0），与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，点 M 为抛物线顶点．
（1）若点 A−1,0，B5,0，求抛物线的解析式；
（2）若点 A−1,0，且 △ABM 是直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线与直线 y=x−6 相交于 M，D 两点．
（ⅰ）用含 a 的式子表示点 D 的坐标；
（ⅱ）当 CD∥x 轴时，求抛物线的解析式．

17. 如图①，抛物线 C1：y=12x2+bx+c 经过原点 0,0，与 x 轴的另一个交点为 2,0，将抛物线 C1 向右平移 mm>0 个单位得到抛物线 C2，C2 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C．
（1）求抛物线 C1 的解析式．
（2）如图②，当 m=2 时，连接 AC，过点 A 做 AD⊥AC 交抛物线 C2 于点 D，连接 CD．
①求抛物线 C2 的解析式．
②直接写出点 D 的坐标为 ．
（3）若抛物线 C2 的对称轴上存在点 P，使 △PAC 为等边三角形，请直接写出此时 m 的值．

18. 已知抛物线 C:y=54x2+12x−34 的顶点为 P，点 M1,t 在抛物线 C 上，点 F−15,0．
（1）求点 P，M 的坐标；
（2）将抛物线 C 向上平移得抛物线 Cʹ，点 M 平移后的对应点为 Mʹ，连接 MʹM 并延长交 x 轴于点 N，且 MʹF−MʹN=25．
（i）求抛物线 Cʹ 的解析式；
（ii）∠MʹFN 的平分线交 MʹN 于点 G，线段 FG 与抛物线 Cʹ 相交于点 A，求点 A 的坐标．

19. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c （ a，b，c 为常数）的对称轴为 x=1，与 y 轴的交点为 C0,4，y 的最大值为 5，顶点为 M．过点 D0,1 且平行于 x 轴的直线与抛物线交于点 A，B．
（1）求该二次函数的解析式和点 A，B 的坐标；
（2）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，求出所有点 P 的坐标．

20. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 1,1，1,2，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足为 D，C，得到正方形 ABCD，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，点 P 为第一象限内抛物线上一点（不与点 A 重合），过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 E，F，设点 P 的横坐标为 m，矩形 PFOE 与正方形 ABCD 重叠部分图形的周长为 l．
（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式；
（2）当矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分时，求 m 的值；
（3）当 m