2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置习题

2.1~2.5综合拔高练

五年高考练

考点1　直线方程及其应用

1.(2016北京,7,5分,)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为(　　)

A.-1 B.3 C.7 D.8

2.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.  

考点2　圆的方程及其应用

3.(2018课标全国Ⅲ,6,5分,)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]

C.[,3] D.[2,3]

4.(2019浙江,12,6分,)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=　　　　,r=　　　　.  

5.(2018课标全国Ⅰ,15,5分,)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

6.(2016课标全国Ⅰ,15,5分,)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

7.(2016天津,12,5分,)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　　　. 

8.(2019江苏,18,16分,)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).

(1)若道路PB和桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.

三年模拟练

应用实践

1.(2020湖南五市十校高二上期中,)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,里面证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比值为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足=2,则动点M的轨迹方程为(　　)

A.x2+(y-5)2=9 B.x2+(y+5)2=9

C.(x-5)2+y2=16 D.(x+5)2+y2=16

2.(2020四川成都高二上期末,)圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4的位置关系为(　　)

A.相离 B.内切

C.外切 D.相交

3.(2020安徽阜阳高二上期末,)“-2≤a≤2”是“直线y=x+a与圆x2+y2=4相交”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2020河北保定高二上期末,)若关于x的方程-kx+4k-3=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

5.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题中为真命题的是(　　)

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

6.(2020河北唐山一中高二上期中,)过点P(3,6),且被圆x2+y2=25所截弦长为8的直线方程为　　　　.易错 

7.(2020河南信阳高级中学高二上期中,)已知圆N经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.

(1)求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程;

(2)若点D为圆N上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.

8.(2020安徽铜陵高二上期末,)已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).

(1)求圆C的标准方程;

(2)若点B也在圆C上,且弦AB的长为8,求直线AB的方程;

(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点的坐标.

迁移创新

9.(2020广东佛山一中高二上期中,)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:

(1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程;

(2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动?

(3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4,0)运动方向可以碰到目标球C(7,-5),求a的最小值(只需要写出结果即可).

图①

图②

答案全解全析

五年高考练

1.C　如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),

设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.

2.答案　4

解析　解法一:设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d==·≥4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.

故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.

解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小,由得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4.因为x>0,所以y>0,所以C<0,所以C=-4,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是=4.

3.A　由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有

S=|AB|·d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2≤S≤6.故选A.

4.答案　-2;

解析　解法一:设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,∴kAC==-,

解得m=-2,∴C(0,-2),

∴r=|AC|==.

解法二:由题知点C到直线的距离为,

r=|AC|=.

由直线与圆C相切得=,解得m=-2,

∴r==.

5.答案　2

解析　将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2,∴圆心到直线x-y+1=0的距离d==,

∴|AB|=2=2=2.

6.答案　4π

解析　把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆C的面积S=πr2=4π.

7.答案　(x-2)2+y2=9

解析　设圆心坐标为(a,0)(a>0),则圆心到直线2x-y=0的距离d==,解得a=2(负值舍去),半径r==3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.

8.解析　解法一:

(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,

DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==,

所以PB===15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)不能,理由如下:

①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,

从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,

此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.

解法二:

(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.

以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.

因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.

因为AB为圆O的直径,AB=10,

所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,

直线PB的方程为y=-x-.

所以P(-13,9),PB==15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),

所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).

在线段AD上取点M,

因为OM=<=5,

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,

所以Q(4+3,9).

此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.

三年模拟练

1.C　设M(x,y),依题意得,

=2,化简得,x2-10x+y2+9=0,

配方得,(x-5)2+y2=16.故选C.

2.D　圆(x+3)2+(y+4)2=16的圆心坐标为(-3,-4),半径r=4,

圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径R=2,

∴两圆的圆心距d==5,∵r+R=4+2=6>5,|R-r|=4-2=2<5,

∴两圆相交.故选D.

3.A　若直线y=x+a与圆x2+y2=4相交,则圆心到直线的距离d=<2,即-2<a<2,

所以“-2≤a≤2”是“直线y=x+a与圆x2+y2=4相交”的充分不必要条件.

故选A.

4.D　方程-kx+4k-3=0有且只有两个不同的实数根,

即=k(x-4)+3有且只有两个不同的实数根,

即y=的图象与直线y=k(x-4)+3有且只有两个不同的交点,

即过(4,3)的直线与以(2,0)为圆心,2为半径的上半圆有且只有两个交点,如图所示,

当直线与半圆相切时,圆心(2,0)到直线kx-y-4k+3=0的距离为2,

即=2,解得k=,当直线过(0,0)时,斜率为,

所以k的取值范围为.故选D.

5.BD　根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,B正确;考虑两圆的位置关系,圆Ck:圆心(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d==,两圆的半径之差R-r=(k+1)2-k2=2k+,任取k=1或k=2时,R-r>d,Ck含于Ck+1之中,选项A错误;

当k无限增大时,可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;

将(0,0)代入圆Ck的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为等号左边为奇数,等号右边为偶数,所以不存在k使上式成立,即所有圆均不经过原点,选项D正确.

故选BD.

6.答案　x=3或3x-4y+15=0

解析　设圆心到直线的距离为d,依题意得,42+d2=25,∴d=3.

当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,符合题意;

当直线的斜率存在时,设其方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,

∴d==3,化简得,4k-3=0⇒k=,

此时直线的方程为y-6=(x-3),即3x-4y+15=0.

综上,直线的方程为x=3或3x-4y+15=0.

易错警示　在设直线的斜率求直线的方程时,不要遗漏斜率不存在的直线.一方面,要能发现“遗漏”:在化简含有k的方程时,若消去二次项,要怀疑直线有“遗漏”的情况;另一方面,要能找回“遗漏”的直线,此时只要直接验证斜率不存在的直线是否符合题意即可.

7.解析　(1)由已知可设圆心N(a,3a-2),又由已知得|NA|=|NB|,

从而有=,解得a=2,

所以圆N的圆心为N(2,4),半径r=,

所以圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10,

圆心关于x-y+3=0的对称点为(1,5),

所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=10.

(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得,

解得

又点D在圆N:(x-2)2+(y-4)2=10上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,即+(y-2)2=,

故所求的轨迹方程为+(y-2)2=.

8.解析　(1)因为圆经过点A(0,4),所以半径为|AC|=5,

所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.

(2)①当斜率k不存在时,直线AB的方程为x=0;

②当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=kx+4,B(xB,yB),

联立方程解得

又|AB|=8,所以k=-,

所以直线AB的方程为7x+24y-96=0,

综上所述,直线AB的方程为x=0或7x+24y-96=0.

(3)设直线MN:y=kx+t,M(x1,kx1+t),N(x2,kx2+t),

则kAM·kAN=·=2

⇒(k2-2)x1x2+k(t-4)(x1+x2)+(t-4)2=0,①

联立⇒(k2+1)x2+(2kt-6)x+t2-16=0,

所以x1+x2=,x1x2=,代入①

得(k2-2)(t2-16)+(kt-4k)(-2kt+6)+(t-4)2(1+k2)=0,

化简得k=+2,所以直线l的方程为y=x+t,所以过定点(-6,-12).

9.解析　(1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,

依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A'(a,b),则有

解得

即A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A'(4-,),所以母球A运动的直线方程为y=x=x.

(2)由(1)知,A'(4-,),又A(0,-2),B(4,0),∴=(4-,2+),=(-,),

∴·=(4-,2+)·(-,)= 4-2>0,故∠AA'B为锐角.

所以点B(4,0)到线段AA'的距离小于2,

故球A的球心未到直线BB'上的点A'之前就会与球B碰撞.

故不可能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动.

(3)a的最小值为-2.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后, 目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图所示,

设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有

联立

解得

∴B'(8,-4),∴直线CB'的倾斜角为45°,∴直线A'B的倾斜角为135°,易得A'(3,).过A'(3,)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,易得A(-2,0),若a<-2,则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不合题意.因此a的最小值为-2.