高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试达标测试

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.下列说法正确的是(　　)

A.甲、乙两人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场

B.某医院对一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.天气预报中预报某天降水的概率为90%,是指降水的可能性是90%

2.若A+B发生的概率为0.6,则,同时发生的概率为(　　)

A.0.6 B.0.36

C.0.24 D.0.4

3.抛掷一颗质地均匀的骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)=,P(B)=,则“出现奇数点或2点”的概率为(　　)

A. B.

C. D.

4.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)

A. B.

C. D.

5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　　)

A. B.

C. D.

6.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是(　　)

A. B.

C. D.

7.如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个图形颜色不全相同的概率为(　　)

A. B.

C. D.

8.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组的概率是(　　)

A. B. C. D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.设靶子上的环数取1~10这10个正整数,脱靶计为0环.某人射击一次,设事件A=“中靶”,事件B=“击中环数大于5”,事件C=“击中环数大于1且小于6”,事件D=“击中环数大于0且小于6”,则下列关系错误的是(　　)

A.B与C互斥 B.B与C互为对立

C.A与D互斥 D.A与D互为对立

10.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则下列说法中不正确的是(　　)

A.事件C发生的概率为

B.事件C发生的频率为

C.事件C发生的概率接近

D.每抽10台电视机,必有1台次品

11.袋中有大小、形状相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率不为的是(　　)

A.颜色相同 B.颜色不全相同

C.颜色全不相同 D.无红球

12.甲、乙两人下棋,下成和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是(　　)

A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是

C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.连续抛掷一枚硬币三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”,则P(A)+P(B)+P(C)=　　　　.  

14.某池塘管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘有　　　　　条鱼.  

15.袋子中有四个小球,分别写有“和、平、世、界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下24组随机数:

232　321　230　023　123　021　132　220　011

203　331　100　231　130　133　231　031　320

122　103　233　221　020　132

由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为　　　 . 

16.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,,,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,,,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为　　　　　　,二人命中不同色区域的概率为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)某企业在生产过程中,测量纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量),得到100个数据,将数据分组如下表:

(1)作出频率分布表,并画出频率分布直方图;

(2)估计纤度落在区间[1.38,1.50)的概率及纤度小于1.40的概率.

18.(本小题满分12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.

(1)求满足条件“为整数”的事件的概率;

(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.

19.(本小题满分12分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则称该学生的选考方案待确定.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数;

(2)假设男、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8名男生和10名女生中各随机选出1人,试求该男生和女生的选考方案中都含有历史学科的概率.

20.(本小题满分12分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表:

若抽取了n名学生,成绩分为A(优秀),B(良好),C(及格)三个等级,设x,y分别表示数学成绩与物理成绩,例如:表中物理成绩为A等级的共有14+40+10=64人,数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.

(1)设在该样本中,数学成绩的优秀率是30%,求a,b的值;

(2)已知a≥7,b≥6,求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.

21.(本小题满分12分)智能手机的出现改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名,得到每天使用手机时间(单位:分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组如下: [0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100].

(1)根据频率分布直方图,估计这500名手机使用者使用时间的中位数; (精确到整数)

(2)估计手机使用者平均每天使用手机的时间; (同一组中的数据用这组数据的中点值作代表)

(3)在抽取的100名手机使用者中,在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组,然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率.

22.(本小题满分12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的视野,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过三小时.

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付租车费用之和大于或等于8元的概率.

答案全解全析

一、单项选择题

1.D　概率只是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性.故选D.

2.D　A+B发生指A,B中至少有一个发生,它的对立事件为A,B都不发生,即,同时发生.故选D.

3.D　因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥,所以“出现奇数点或2点”的概率为P(A)+P(B)=+=.

4.C　恰有一人获得一等奖包括甲获得、乙没有获得和甲没有获得、乙获得,则所求概率是×+×=.

5.D　试验的样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(乙,丁,戊),(甲,丁,戊),(丙,丁,戊)},共10个样本点,其中事件“甲或乙被录用”包含的样本点有9个,故所求概率为.

6.B　最后乙队获胜包含3种情况:(1)第三局乙胜;(2)第三局甲胜,第四局乙胜;(3)第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜.

故最后乙队获胜的概率P=+×+×=,故选B.

7.A　每一个图形有2种涂法,总的涂色种数为23=8,三个图形颜色完全相同的有2种(全是红或全是蓝),则三个图形颜色不全相同的涂法种数为8-2=6.所以三个图形颜色不全相同的概率为=.故选A.

8.C　根据频率分布直方图可知,生产产品数量在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是A,B,[15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20个产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,且这15个样本点发生的可能性相等.其中2名工人不在同一组的样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个,则选取的2名工人不在同一组的概率为.

二、多项选择题

9.BCD　事件B=“击中环数大于5”和事件C=“击中环数大于1且小于6”不会同时发生,但可能会同时不发生,故两事件互斥但不对立.事件A=“中靶”与事件D=“击中环数大于0且小于6”会同时发生,故两事件既不互斥,也不对立.

10.ACD　事件C发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近或概率为的结论,当然,每抽10台电视机必有1台次品也不一定发生.

11.ACD　有放回地取球3次,试验的样本空间中共27个样本点,其中颜色相同的样本点有3个,其概率为=;颜色不全相同的样本点有24个,其概率为=;颜色全不相同的样本点有3个,其概率为=;无红球的样本点有8个,其概率为.故选ACD.

12.BCD　∵甲、乙两人下成和棋的概率为,乙获胜的概率为,

∴甲获胜的概率是1--=,故A中说法正确;

甲不输的概率是1-=,故B中说法不正确;

乙输的概率是1--=,故C中说法不正确;

乙不输的概率是+=,故D中说法不正确.

三、填空题

13.答案　1

解析　事件A,B,C之间两两互斥,且A∪B∪C是一枚硬币连掷三次的所有结果,

所以P(A)+P(B)+P(C)=1.

14.答案　750

解析　设池塘约有n条鱼,则带标记的鱼的概率为,

由题意得×50=2,

∴n=750.

15.答案　　

解析　由题意可知,满足条件的随机数组中,前两次抽取的数中必须包含0或1,且0与1不能同时出现,第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0,可得符合条件的数组只有3组:021,130,031,故所求概率P==.

16.答案　;

解析　设甲射中红、黄、蓝区域的事件分别为A1,A2,A3,

乙射中红、黄、蓝区域的事件分别为B1,B2,B3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.

∵二人射击情况互不影响,

∴二人命中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=;

二人命中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=×+×+×+×+×+×=.

四、解答题

17.解析　(1)根据题意,作频率分布表如下:

(2分)

频率分布直方图如图:

(5分)

(2)由频率分布表,可得纤度落在区间[1.38,1.42)的频率为0.30,

纤度落在区间[1.42,1.46)的频率为0.29,

纤度落在区间[1.46,1.50)的频率为0.10,

故估计纤度落在区间[1.38,1.50)的概率为0.30+0.29+0.10=0.69.(8分)

由频率分布表,可得纤度小于1.40的频率为0.04+0.25+0.30×=0.44.

故估计纤度小于1.40的概率为0.44.(10分)

18.解析　根据题意,用(x,y)表示得到的点数情况,则得到的点数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.(4分)

(1)记“为整数”为事件A,则A包括(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8个,故P(A)=.(8分)

(2)记“x-y<2”为事件B,则B包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共13个,故P(B)=.(12分)

19.解析　(1)由题表可知,选考方案确定的男生中选考生物的有4名,选考方案确定的女生中选考生物的有6名.(3分)

故估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数为××420=140.(6分)

(2)由题表可知,从选考方案确定的8名男生中选出1人,其选考方案中含有历史学科的概率为=,(8分)

从选考方案确定的10名女生中选出1人,其选考方案中含有历史学科的概率为.(10分)

所以该男生和女生的选考方案中都含有历史学科的概率为×=.(12分)

20.解析　(1)由题意知=0.07,

解得n=200,(2分)

所以×100%=30%,解得a=18,(4分)

易知a+b=30,所以b=12.(6分)

(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2.

由a+b=30且a≥7,b≥6,

得试验的样本空间Ω={(7,23),(8,22),(9,21),…,(24,6)},共18个样本点,(8分)

其中a>b+2包含的样本点有(17,13),(18,12),…,(24,6),共8个,(10分)

所求概率P==.(12分)

21.解析　(1)设中位数为x,易知x∈(40,60],则0.002 5×20+0.010 0×20+0.015 0×(x-40)=0.5,解得x=≈57.

∴这500名手机使用者使用时间的中位数是57分钟.(3分)

(2)平均每天使用手机的时间为0.05×10+0.2×30+0.3×50+0.2×70+0.25×90=58(分钟).(6分)

(3)设在(20,40]内抽取的2人分别为a,b,在(40,60]内抽取的3人分别为x,y,z,则从5人中选出2人共有以下10种情况:

(a,b),(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z),(x,y),(x,z),(y,z),(8分)

2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的共有以下6种情况:(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z).(10分)

∴所求概率为=.(12分)

22.解析　(1)甲、乙两人所付费用相同的情况分为付2、4、6元.(1分)

都付2元的概率P1=×=,

都付4元的概率P2=×=,

都付6元的概率P3=×=,(4分)

∴所付费用相同的概率P=P1+P2+P3=++=.(6分)

(2)设两人费用之和为8、10、12元的事件分别为A、B、C,(7分)

P(A)=×+×+×=,

P(B)=×+×=,

P(C)=×=,(10分)

设两人所付租车费用之和大于或等于8元的事件为W,则W=A+B+C,

所以两人所付租车费用之和大于或等于8元的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.(12分)