人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试教案

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9.1 随机抽样


1.几个概念：（1）全面调查（普查）：对每一个调查对象都进行调查的方法.


（2）总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体.


（3）个体：组成总体的每一个调查对象.


（4）抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.


（5）样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.


（6）样本量：样本中包含的个体数.


2. 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n≤N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.


3. 简单随机抽样的比较常用的方法有：抽签法和随机数法.


4. 平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1,Y2,…YN则称为总体均值，又称总体平均数.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k （k≤N）个，不妨记为Y1,Y2,…Yk其中Yi出现的频数fi（i =1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1,y2, …,yn则称为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.


5.方差：一组数据的平均值为，则它的方差为：


6.分层抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.


7．分层抽样的比例分配：在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.，在比例分配的分层随机抽样中，





8. 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n. 我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为





第2层的总体平均数和样本平均数分别为





总体平均数和样本平均数分别为








由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用





估计总体平均数.


9.2 用样本估计总体


1.制作频率分布表、频率分布直方图的步骤：


（1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差；


（2）决定组距与组数：组距=；


（3）将数据分组


（4）列频率分布表：①计算第i小组的频率：；


②评率分布表按“分组、频数累计、频数、频率”几项列表。


（5）画频率分布直方图


①纵轴表示，这里实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.


②小长方形的面积=组距×=频率，各小长方形的面积表示相应各组的频率.


③在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1.


2. 总体百分位数的估计：


（1）百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．


（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：


第1步，按从小到大排列原始数据．


第2步，计算i＝n×p%．


第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数


（3）四分位数：中位数相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.


3.利用频率分布直方图估计数据：


（1）平均数：样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替


（2）根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.


（3）众数：在频率分布直方图中，纵坐标最大的矩形底边的中点的横坐标可以近似代替众数。


4.总体离散程度的估计


假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.


（1）“平均距离”：用每组数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即（i=1,2,…,n）作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为.


（2）方差：为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即. (1)


我们称(1)式为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式


（3）标准差：由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即. (2)


我们称（2）式为这组数据的标准差.


（4）总体与样本的方程和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差。与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为，其中出现的频数为(i=1,2,…,k)，则总体方差为.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.


（5）方差与标准差刻画的目标：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.