数学人教版新课标A2.4抛物线一课一练

这是一份数学人教版新课标A2.4抛物线一课一练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4 B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：y2＝ax的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0)).过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(x－\f(a,4)))，令x＝0得：y＝－eq \f(a,2).
∴eq \f(1,2)×eq \f(|a|,4)·eq \f(|a|,2)＝4，
∴a2＝64，
∴a＝±8，故选B.
答案：B
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(32＋42))＝2，故选A.
答案：A
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为eq \r(3)的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．8
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x＝－1，经过F且斜率为eq \r(3)的直线y＝eq \r(3)(x－1)与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2eq \r(3))，AK⊥l，垂足为K(－1,2eq \r(3))，∴△AKF的面积是4eq \r(3).故选C.
答案：C
4．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．
故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.
答案：C
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，则等于( )
A．9 B．6
C．4 D．3
解析：设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)．
∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故选B.
答案：B
6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq \r(3)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq \f(S△BCF,S△ACF)等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(4,7) D.eq \f(1,2)
解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(1,2)))知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为eq \f(3,2)，代入得y2＝3，则Beq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\r(3)))，另一种可能是eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(3)))，那么此时直线AC的方程为eq \f(y－0,－\r(3)－0)＝eq \f(x－\r(3),\f(3,2)－\r(3))，即y＝eq \f(2(x－\r(3)),2－\r(3))，把y＝eq \f(2(x－\r(3)),2－\r(3))代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))＝45，故选A.
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升eq \f(1,2)米后，水面的宽度是________．
解析：设抛物线方程为x2＝－2py，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，
故方程为x2＝－8y，水面上升eq \f(1,2)米，则y＝－eq \f(3,2)，代入方程，得x2＝－8×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝12，x＝±2eq \r(3).故水面宽4eq \r(3)米．
答案：4eq \r(3)米
8．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，则这样的点P的个数为________．
解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，由点到直线的距离公式，知eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)－y0)),\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即yeq \\al(2,0)－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个．
答案：3
9．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．
解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程：x＝－1，如图，
则直线AB的方程为y＝x－1，
由得
x2－6x＋1＝0，①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
∴x1x2＝1，x1＝3＋2eq \r(2).
根据抛物线定义，得|FA|＝x1＋1，
|FB|＝x2＋1(x1>x2)，
∴eq \f(|FA|,|FB|)＝eq \f(x1＋1,x2＋1)＝eq \f(x1＋1,\f(1,x1)＋1)＝eq \f(x1(x1＋1),x1＋1)＝x1＝3＋2eq \r(2).
答案：3＋2eq \r(2)
10．设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1]x*a))的轨迹方程是________．
解析：由y＝eq \r(x*a)，得y2＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax(y≥0)．
答案：y2＝4ax(y≥0)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点；
(3)求弦AB中点P的轨迹方程；
(4)求△AOB面积的最小值．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．
(1)kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2).
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，∴eq \f(y\\al(2,1),2p)·eq \f(y\\al(2,2),2p)＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴kAB＝eq \f(2p,y1＋y2).
∴直线AB：y－y1＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－x1)．
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋y1－eq \f(2px1,y1＋y2).
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(y\\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2).
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(－4p2,y1＋y2).
∴y＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－2p)．
∴AB过定点(2p,0)．
(3)如图，设OA：y＝kx，代入y2＝2px得：x＝0或x＝eq \f(2p,k2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)，\f(2p,k))).
同理，以－eq \f(1,k)代k得B(2pk2，－2pk)．
设中点坐标P(x0，y0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2))),y0＝p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－k)))).
∵k2＋eq \f(1,k2)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(1,k)－k))2＋2，∴eq \f(x0,p)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(y0,p)))2＋2，
即yeq \\al(2,0)＝px0－2p2.
∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.
(4)设M(2p,0)，S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝eq \f(1,2)|OM|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2peq \r(|y1y2|)＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立．
评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；②因为(x1，y1)，(x2，y2)都在抛物线上，故满足yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2；③利用yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
12．是否存在同时满足下列条件的抛物线：①准线是y轴；②顶点在x轴上；③点A(3,0)到该抛物线上的动点P的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由．
解：设满足条件的抛物线存在，顶点B在x轴上．
设B(a,0)，以y轴为准线的抛物线方程为
y2＝4a(x－a)，由条件知a>0.
设P是抛物线上的点，其坐标为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(m2,4a)＋a，m)).
则|AP|2＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(m2,4a)＋a－3))2＋m2
＝eq \f(1,16a)[m2－12(a－a2)]2＋12a－8a2，
∴当a－a2≥0，即0＜a≤1，
且m2＝12(a－a2)时，|AP|min＝eq \r(12a－8a2).
∴eq \r(12a－8a2)＝2，解得a＝1或a＝eq \f(1,2).
此时抛物线方程为y2＝4(x－1)或y2＝2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))).
当a－a2<0，即a>1，且m＝0时，
|AP|min＝|a－3|＝2.
∴a＝5，此时抛物线方程为y2＝20(x－5)，
∴存在满足条件的抛物线，其方程为
y2＝4(x－1)或y2＝2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))或y2＝20(x－5)．
13．(精选考题·福建)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq \f(\r(5),5)？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq \f(1,2).
由直线OA与l的距离d＝eq \f(\r(5),5)可得eq \f(|t|,\r(5))＝eq \f(1,\r(5))，解得t＝±1.
因为－1∉eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(－eq \f(1,2)，＋∞))，1∈eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(－eq \f(1,2)，＋∞))，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
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