数学选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时同步达标检测题

第四章数列

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第2课时　等差数列的性质及应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=π,则cos a3=(　　)

A. B. C.- D.

解析因为{an}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=,故cos a3=cos.

答案D

2.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于(　　)

A.14 B.21 C.28 D.35

解析∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.

又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,

故a1+a2+…+a7=7a4=28.

答案C

3.已知数列是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于 (　　)

A.12 B.24 C.16 D.32

解析令bn=,由题意可知b3=,b15==2,则等差数列{bn}的公差d=,则b9=b3+(9-3)d=,所以a9=9b9=12,故选A.

答案A

4.已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1=(　　)

A.10 B.9 C.3 D.2

解析由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am--1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选D.

答案D

5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为(　　)

A.96石 B.78石 C.60石 D.42石

解析依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,解得a2=60,d=-18,所以a1=a2-d=60+18=78,故选B.

答案B

6.在等差数列{an}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10=　　　　　. 

解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.

答案3

7.已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是　　　　　. 

答案4

8.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则a8=　　　　　,2a9-a10=　　　　　. 

解析∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.

∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.

答案24　24

9.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为　　　　　. 

解析设等差数列的公差为d,则d==-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.

答案0

10.在等差数列{an}中,

(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;

(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.

解(方法一)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,

得4a13=48,∴a13=12.

(2)由a2+a3+a4+a5=34,

得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,

解∴d==3或d==-3.

(方法二)(1)直接化成a1和d的方程如下:

(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.

(2)直接化成a1和d的方程如下:

解得∴d=3或-3.

能力提升练

1.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有(　　)

A.a1+a101>0 B.a2+a100<0

C.a3+a99=0 D.a51=0

解析根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,∴101a51=0,

∴a51=0,又因为a3+a99=2a51,∴a3+a99=0.

答案CD

2.已知等差数列{an},a2=2,a4=8,若=3n-1,则b2 017=(　　)

A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.0

解析由a2=2,a4=8,得数列{an}的公差d==3,所以an=2+(n-2)×3=3n-4,所以an+1=3n-1.又数列{an}的公差不为0,所以数列{an}为单调数列,所以结合=3n-1,可得bn=n+1,故b2 017=2 018.故选C.

答案C

3.设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则(　　)

A.d>0 B.d<0

C.a1d>0 D.a1d<0

解析设bn=,则bn+1=,由于{}是递减数列,因此bn>bn+1,即.∵y=2x是单调增函数,∴a1an>a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>0,∴a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.

答案D

4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为　　　　　. 

解析不妨设角A=120°,c<b,则a=b+4,c=b-4,

于是cos 120°==-,

解得b=10,所以a=14,c=6.

所以S△ABC=bcsin 120°=15.

答案15

5.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则=　　　　　. 

解析由题意,得a1-a2=,b1-b2=,

所以.

答案

6.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 017,则该数列的首项为　　　　　. 

解析设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1 010,a2m+1=2 017.又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2 017=2×1 010,所以a1=3;若这组数有2m个,则am+am+1=1 010×2=2 020,a2m=2 017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2 017=2 020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.

答案3

7.古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.

解由题意,得{an}为等差数列,

则

解得所以a4+a5+a6=a1+a2+a3+9d=4+9×.故未到三人共得金斤.

8.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.

解∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.

又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,

即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9.

解得d=±2.

若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;

若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.

素养培优练

已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中,依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.

解(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.

∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,

∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.

(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.

当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.

∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.

∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.