高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一课一练

A级　基础巩固

一、选择题

1．正方体的六个面中相互平行的平面有(　B　)

A．2对　　 B．3对　　

C．4对　　 D．5对

[解析]　正方体的六个面中有3对相互平行的平面．

2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　A　)

A．相交

B．平行

C．直线在平面内

D．平行或直线在平面内

[解析]　由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．

3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是(　D　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．以上都有可能

[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D．

4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　D　)

A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交

C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交

[解析]　根据直线和平面平行定义，易知排除A，B．对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．

5．平面α∥平面β，直线a∥α，则(　D　)

A．a∥β  B．a在面β上

C．a与β相交  D．a∥β或a⊂β

[解析]　如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；

如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D．

6．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有(　C　)条

A．1  B．2

C．0  D．0或1

[解析]　反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b与a，b异面矛盾．故选C．

二、填空题

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__平行__；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__相交__．

8．两个不重合的平面可以把空间分成__三或四__部分.

[解析]　两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．

三、解答题

9．如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？

[解析]　∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，

∴直线A′B在平面ABB′A′内．

∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B，

∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交．

∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，

∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交．

∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，

∴直线A′B与平面DCC′D′平行．

平面A′B∥平面CD′，

平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC、平面A′C′都相交．

10．如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.

[解析]　平面ABC与平面β的交线与l相交．

证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l．

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β．

∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．

即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

B级　素养提升

一、选择题

1．直线a在平面γ外，则(　D　)

A．a∥γ  B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A  D．a与γ至多有一个公共点

[解析]　直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．

2．若平面α∥平面β，则(　A　)

A．平面α内任一条直线与平面β平行

B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行

C．平面α内存在一条直线与平面β不平行

D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交

3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成(　C　)

A．5部分  B．6部分

C．7部分  D．8部分

[解析]　垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C．

4．如图所示，用符号语言可表示为(　D　)

A．α∩β＝l  B．α∥β，l∈α

C．l∥β，l⊄α  D．α∥β，l⊂α

[解析]　由图可知，α∥β，l⊂α．

二、填空题

5．下列命题正确的有__①⑤__.

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；

⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b．

[解析]　①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．

6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成__27__部分.

C级　能力拔高

1．已知三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解析]　(1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α．

(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a．

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.

 [解析]　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF．

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1

∴EF∥CD1．

∴E，F，C，D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF．

∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF．